WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаФізика → Термодинамічні властив&# - Реферат

Термодинамічні властив&# - Реферат


Реферат з фізики
Термодинамічні властивості газу вільних електронів
1. Вступ
2. Властивості електронного газу в основному стані.
3. Термодинамічні властивості газу вільних електронів.
4. Розподіл Фермі-Дірака.
5. Застосування розподілу Фермі-Дірака.
6. Зоммерфельдівська теорія провідності в металах.
7. Термо-електрорушійна сила.
8. Недоліки моделі вільних електронів.
9. Основні припущення.
1. Вступ
В часи Друде, а потім і протягом багатьох років цілком розумним здавалося припущення, що розподіл електронів за швидкостями співпадає з розподілом у звичайному класичному газі з концентрацією n-N/V і описується в стані рівноваги при температурі T формулою Максвела-Больцмана. За таким припущенням число електронів в одиниці об'єму, швидкості яких лежать в інтервалі dV з центром V дорівнює fB(V)dV, де:
fB(V)=n(m/2?kBT)3/2e-mvv/2kT (1).
З цього видно, що електрони мають давати великий вклад в теплоємність металу, який дорівнює 3/2·kB на один електрон. Проте такий вклад помічений не був.
На протязі чверті століття цей парадокс викликав сумніви в справедливості моделі Друде, які розсіялись лише після створення квантової теорії і признання того факту, що для електронів в силу принципу заборони Паулі розподіл Максвела-Больцмана має бути замінений розподілом Фермі-Дірака:
f(V)=((m/?)3/4?3)(1/(exp((mv2/2-kBT0)/ kBT)-1)) (2).
Тут ?- стала Планка, поділена на 2?, а T0- температура, що визначається з формули T=0,01T0 і зазвичай дорівнює десяткам тисяч градусів.
n=? f(V)dV (3).
При температурі нижче 103К і при електронних концентраціях, характерних для металів, розподіл Фермі-Дірака надзвичайно сильно відрізняється від розподілу Максвела-Больцмана.
Зомерфельд застосував принцип заборони Паулі до вільного електронного газу в металах. Модель Зомерфельда являє собою модель класичного електронного газу Друде, але розподіл електронів описується статистикою Фермі-Дірака, а не Максвела-Больцмана.
2. Властивості електронного газу в основному стані.
Нам необхідно розрахувати властивості основного стану системи із N електронів, що знаходяться в об'ємі V. Оскільки електрони не взаємодіють один з одним, основний стан цієї системи можна знайти вичисливши спочатку рівні енергії окремого електрона в об'ємі V і заповнюючи потім всі рівні знизу вверх у відповідності з принципом Паулі, який забороняє двом електронам одночасно займати один електронний рівень.
Для опису окремого електрона необхідно знати його хвильову функцію ?(r) і вказати, який напрям має спін. Згідно СРШ маємо:
-?/2m(? 2 / ? x2+ ? 2 / ? y2+? 2 / ? z 2)?(r)= -?/2m?2?(r)=??(r) (4).
Оскільки електрон рухається в металі об'ємом V, то вводячи граничні умови приймемо, що в нас є куб зі стороною L=V 1/3. При граничних умовах
?(x+L)=?(x), тому для куба маємо:
?(x,y,z+L)=?(x,y,z)
?(x,y+L,z)=?(x,y,z) (5).
?(x+L,y,z)=?(x,y,z)
Співвідношення (5) називаються граничними умовами Борна-Кармана.
Знайдемо розв'язок, що задовольняє граничні умови (5). Розв'язок (4), якщо знехтувати граничними умовами має вигляд:
?k(r)=eikr/?V (6),
при цьому:
?(k)=?k2/2m (7),
де k- будь-який вектор, який не залежить від просторових координат. В (6) ми вибрали нормований множник так, щоб ймовірність знаходження електрона будь-де по всьому об'єму V дорівнювала одиниці:
1=?dr|?(r)|2 (8).
Хвильова функція ?k(r) являє собою відповідну функцію оператора імпульсу:
p=(?/i)( ?/?r)= (?/i)? ( px=(?/i)( ? / ?x), py=(?/i)( ? / ?y), pz=(?/i)( ? / ?z) ) (9),
5. Застосування розподілу Фермі-Дірака.
В газі вільних і незалежних електронів одно електронні рівні описуються хвильовим вектором k і спіновим числом s: енергії рівнів не залежать від s (при відсутності магнітного поля ) і визначаються виразом:
E(k)=?2k2/2m (1)
В основному стані зайняті тільки ті рівні, в яких E(k)?EF, тому в основному стані функція розподілу повинна мати вигляд:
fkS={1, E(k)EF (2)
З іншої сторони в границі T?0 розподіл Фермі-Дірака набере вигляду
limT?0fkS={1, E(k)? (3)
Щоб ці два вирази були сумісні, повинна виконуватися умова:
limT?0 ?=EF (4)
Одним з найбільш важливих прикладів застосування статистики Фермі-Дірака може служити розрахунок електронного вкладу в питому теплоємність металу при постійному об'ємі
cv=(T/V)(?S/?T)v=(?U/?T)v , (5)
u=U/V
В наближенні незалежних електронів внутрішня енергія U рівна сумі добутків E(k) на середнє число електронів на даному рівні, взятій по всіх одно електронних рівнях
U=2?kE(k)f(E(k)) (6)
Щоб підкреслити, що fk залежить від k тільки через енергію електрона E(k) , ми ввели функцію Фермі
f(E)= 1/(exp((E-?)/kST)+1) (7)
Якщо поділити дві частини рівності (6) на об'єм V, використовуючи рівність
limV??(1/V)?kF(k)=?dkF(k)/8?3,
то густину енергії u=U/V можна записати у вигляді
u=?dkE(k)f(E(k))/4?3 (8)
Розділивши на V також і дві частини співвідношення
N=?i1/(exp((E-?)/kST)+1),
можна доповнити (8) виразом для густини електронів n=N/V і використати його для виключення хімічного потенціалу
n=? f(E(k))dk/4?3 (9)
При розрахунку типу (8) і (9) , які мають форму
? F(E(k))dk/4?3 (10)
часто використовують те, що підінтегральний вираз залежить від k лише через енергію електрона E=?2k2/2m. Переходячи в інтегралі до сферичних координат і замінюючи k на E, маємо
? F(E(k))dk/4?3=?0,?k2dk F(E(k))/ ?2=?-?,?dEg(E)F(E) (11)
Тут
g(E)={(m/?2?2 )?2mE/ ?2 , E>0; 0, E0; 0, E> (1/kF) ~ rS (41)
де rS має порядок середньої відстані між електронами, тобто декілька ангстрем. Тому класичний опис неможливий, коли розглядаються електрони, які локалізовані на відстанях порядку міжатомних. Але електрони провідності в металах не прив'язані до конкретного іона, а вільно рухаються по об'єму металу. В більшості випадків немає необхідності, в макроскопічних прикладах, задавати їх координати з точністю до 10-8см. В моделі Друде знання координат електрона важливо в двох відношеннях:
1) 1) коли до металу прикладене змінне електромагнітне поле або градієнт температури, ми повинні вказати координати електрона з точністю до відстаней, малих порівняно з характерним масштабом ?, на якій міняється поле або градієнт температури.
2) 2) В моделі Друде передбачається, що електрони можуть перебувати на відстанях набагато менших від довжини вільного пробігу. Тому слід розглядати електрони з довжиною вільного пробігу >10 ангстрем.
Існує широкий клас явищ, коли поведінку окремого електрона можна описати з допомогою класичної механіки. Але чи можна описати так поведінку N таких електронів.
Розглянемо систему з N електронів, не взаємодіючих один з одним і піддаючи їх дії електромагнітного поля, щозалежить як від просторових
Loading...

 
 

Цікаве