WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаФізика → Суперпозиція ЛКАО і псевдопотенціалу для розрахунку структури монокристалів CoW2. - Реферат

Суперпозиція ЛКАО і псевдопотенціалу для розрахунку структури монокристалів CoW2. - Реферат


Суперпозиція ЛКАО і псевдопотенціалу для розрахунку енергетичної зонної
структури монокристалів CdJ2
Для розрахунку енергетичної зонної структури кристалів останнім часом набув поширення метод апріорних атомних псевдопотенціалів (ПП). У загальних рисах цей підхід ґрунтується на самоузгодженому пошуку ПП у наближенні функціонала локальної спінової густини. Стартова точка цієї процедури базується на релятивіському рівнянні Дірака для хвильової функції Gl(r) і Fl(r):
dFl(r)/dr - (g/r).Fl(r) + .[El - V(r)]Gl(r) = 0 (1a)
dGl(r)/dr + (g/r).Gl(r) - [(2/ 2) + El - V(r)].Fl(r) = 0, (1b)
де l = -1=137.07 - обернене значення константи надтонкої структури; g - ненульове ціле число. Розв'язки рівняння (1) визначають густину заряду:
(r) = [|Gl(r)|2 + | Fl(r)|2]. (2)
El < EF
Використовуючи процедуру нелінійної інтерполяції, визначимо псевдопотенціал:
Vps(l)(r) = Vост(r) + Vioн(l)(r)+ Vсо(l)(r), (3)
де Vост(r) - остовний потенціал, V(l)ioн(r) визначає іонну корекцію псевдопотенціалу і V(l)со(r) - спін-орбітальна корекція. Кожний з вищенаведених доданків може бути виражений в аналітичній формі і тому відповідні матричні елементи можна точно обчислити (замість числового інтегрування):
V???(r) = (-Zv.e2/r). Ci.erf[ i1/2.r]; (4)
V???(r) = (Ai+r2.Ai+3).exp(- i.r2). (5)
Інтерполяційні коефіціенти Ai, i, CI, i визначаються як розв`язки самоузгодженого рівняння Дірака - Хартрі - Фока - Слетера для конкретних атомів з відповідними орбітальними числами з подальшою нелінійною інтерполяцією (4, 5).
Повний псевдопотенціал є сумою нелокальних псевдопотенціалів, які перекриваються і розміщені в точках p,q. Взаємодія електрона з остовами, які описуються періодичними іонними ПП, визначається оператором:
Vps(r, r') = Vq,s(r - Rp - q,s, - Rp - q,s), (6)
p,q,s
де Rp - вектор прямої ґратки, який визначає розташування елементарної комірки; q,s - вектор, який визначає розташування s-го іона сорту q в елементарній комірці. При обчисленні матричних елементів секулярного рівняння в базисі плоских хвиль необхідно перейти від r-простору до оберненого G-простору за допомогою Фур'є перетворення:
=N-1 exp[-iq(Rp + q,s)].V-1.
dr.dr'.exp[-i(k+Gj).r].Vq(r, r').exp[i(k+Gj).r'], (7)
де q = Gi - Gj і V - об'єм першої зони Бріллюена. Враховуючи, що qj. i = 2. . ij ( i, qj - основні вектори прямої й оберненої ґратки) знаходимо, що при довільних значеннях p exp(-iqRp) = 1, а тому сума по p просто дає множник N i остання рівність у локальному наближенні набуває вигляду:
= exp[-iq. q,s)].V-1. d3r.exp[-i(q.r].Vq(r) (8)
q, s
Зауважимо, що тут інтегрування по r здійснюється в основній сфері кристала.
Розглянемо локальну частину псевдопотенціала. Форм-фактор потенціалу іона (4) дорівнює:
Vq = V-1. V???(r).exp(-iqr).d3r.
Для обчислення цього виразу використаємо загальну процедуру. Запишемо розклад плоских хвиль за Релеєм:
exp(iqr) = (2l+1).il.jl(|q.r|.Pl(cos q^r), (9)
де jl(x) - сферичні функції Бесселя, Pl(cosq^r) - поліноми Лежандра l-го порядку і q^r - кут між q і r. Через сферичну симетрію s-орбіталі основний вклад в інтеграл у рівнянні (8) надає лише член ряду з l = 0. Враховуючи, що P0(cosq^r) = 1, одержимо:
2
V(q) = 4 /V r2.{-Zve2/r) Ci.erf[ i1/2.r]+(Ali+r2.Ali+3).exp(- li.r2)j0(qr)}d3r. (10)
0 i=1
Форм-фактор нелокальної частини псевдопотенціалу (перші два доданки 4) може бути визначений із:
= V-1 d3r.d3r'.exp[-i(k + Gi).r]. { (Ail + r2.Ail+3).
exp(- il.r2) - (A(0)l + r2.A(0)l+3).exp(- (0)l r2).Pl}.exp[-i(k + Gj).r]. (11)
Проекційний оператор l-ої компоненти моменту має вигляд:
Pl = Ylm( i, ).Y*lm( 'i, '), (12)
де Ylm( i, ) - сферичні гармонічні. За визначенням, дія проекційного оператора на довільну функцію виражається так:
Pl exp(ikr) = Ylm( i, ).{ d '.sin '.d '.Y*lm( ', ').exp(ikr)}, (13)
де , ', , ' - полярний і азимутальний кути векторів k i r. Використовуючи (13), рівняння (11) можна записати:
l 2
= V-1 r2dr d sin d
m=-l 0 0 0
3
exp[-i(k + Gi).r].Ylm( , ){ (Ail + r2.Ail+3).exp(- il.r2) - (A(0)l + r2.A(0)l+3).
l=1
2
exp(- 0)l r2)}. d ' sin 'd Y*lm( ', ').exp[i(k + Gj).r] (11a)
0 0
Враховуючи умову ортонормованості сферичних функцій:
2 2
d sin .d . Ylm( , ).Y*l'm'( , ) = ll' . mm',
0 0
а також теорему додавання сферичних гармонік:
l
Ylm( , ).Y*lm( , ) = [-(2l+1)/4 ].Pl(cos Gi^Gj),
m=-l
одержимо:
= 4 /V. (2l+1).Pl(cos Gi^Gj).Tl, (14)
де
cos Gi^Gj = GiGj/|Gi |.|Gj|, P0 = 1, P1 = cos Gi^Gj, P2 = (3.cos Gi^Gj - 1)/2;
а оператор Tl подається таким виразом:
Tl = [All' M1l +All'+3.Mll' - A0l' M0l - A0l'+3.M0l']; (15)
M1l = d3r.r2..jl(Gl.r).exp(- il r2). jl(Gj r); (16)
M2(l) = d3r.r4.jl(Gir) exp(- il r2).jl(Gj r). (17)
При проведенні самоузгоджених розрахунків враховувався екрануючий потенціал Хартрі-Слетера. Цей потенціал можна подати як звичайний кулонівський потенціал у формі, що визначається рівнянням Пуасона:
2.VH(r) = -4. .e2. (r), (18)
де (r) - електронна густина. Фур`є образ кулонівського потенціалу дорівнює :
VH(Gi - Gj) = [4. .e2./|Gi - Gj|]. (|Gi - Gj|) (19)
де
(Gi - Gj) = V-1 dr. (r).exp[-i(Gi - Gj).r] (20)
0
Крім заданого потенціалу іона Vlіон(r) та потенціалу Хартрі VH(r), необхідно також враховувати потенціал, пов`язаний з обміном та кореляцією електронів, які беруть участь в екрануванні. У літературі описані різні обмінно-кореляційні потенціали та наведено результати розрахунків, одержаних при їх застосуванні [1]. Найбільш поширеним є обмінно-кореляційний потенціал Слетера без урахування спінової поляризації електронних станів. Останні залежать від сорту атома і враховуються множником:
VOK(r) = -3e2. .[(3/8. ). (r)]1/3 (21)
Параметер змінюється в межах 0.5 - 1. Збільшення параметра посилює обмінно-кореляційний потенціал біля атома у порівнянні з міжатомною сферою. З цього випливає, що вибір обмінного потенціалу лише визначає розташування енергетичного спектра на шкалі енергій. Після перетворення Фур'є одержимо:
N
VOK(Gl - Gj) = -3e2. .(3/8. )1/3.N-1 (rl)1/3.exp[-i(Gl - Gj).rl].
l = 1
Отже, матричні елементи ермітової матриці, яка визначає гамільтоніан, записуються наступним чином :
=( k + Gi)2. Gi^Gj + [v(q) (|Gi - Gj|) +
+. (q).(Gi - Gj) + VH(Gi - Gj) + VOK(Gi - Gj) (22)
Структурний фактор іона типу q є:
(q)(|Gi - Gj|) = 1/2 exp[i.(|Gi - Gj|. p,q)].
p
Знаючи вираз гамільтоніана для старту процедури обчислення, необхідно вибрати певну початкову густину валентних електронів (r), яку подають яксуперпозицію електронних густин нейтральних атомів:
(r) = Cq,n,l ,
n,q,l
де Cq,n,l - фактор заповнення орбіталі n, q, l атома n. Хвильова функція кожної орбіталі задається рівнянням:
q(r) = Rqnl(r). lm( , )/r.
Аналітичні вирази та коефіцієнти для функції
Loading...

 
 

Цікаве