WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаФізика → Основні задачі математичної фізики - Реферат

Основні задачі математичної фізики - Реферат

(x) (2)
будемо шукати частинне рішення рівняння (1) увигляді добутку двух функцій:
u(x,0)=-X(X)T(t). (3)
Підставляючи в рівняння (1), будем мати: X(x)T (t)=a2X (x)T(t) або
. (4)
Кожне з цих відношень не може залежати ні від х, ні від t, і тому ми їх прирівняємо постійній - 2. З формули (4) отримаємо два рівняння:
T +a2 2T=0, (5)
X + 2X=0. (6)
Рішаючи їх знайдем:
, X=Acos x+Bsin x.
Підставляючи в (3), отримаємо:
(7)
постійна С включається в А( ) і В( ).
Для кожного значення ми торимаєм рішення виду (7). Произвольные постійні А і В для кожного значення мають визначені значення. Виходячі з цього можна рахувати А і В функціями від . Сума рішень виду (7) також є рішенням:
.
Інтегруючи вираз (7) по параметру в границях від 0 до також отримаємо рішення
, (8)
якщо А( ) і В( ) такі, що цей інтеграл, його похідна по t і друга похідна по х існують і дістаютьсяшляхом диференціювання інтеграла по t і по х. Підберем А( ) і В( ) так, щоб рішення u(x,t) задовільняло умові (2). Покладаючись в рівності (8) t=0, на основі умови (2) дістанемо:
. (9)
Припустимо, що функція (х) такова, що вона представіма інтегралом Фур'є:
або
. (10)
зрівнюючи праві частини (9) і (10), отримаємо:
(11)
підставляючи знайдені вирази А( ) і В( ) у формулу (8) отримаємо:
або, міняючи порядок інтегрування, отримаємо
. (12)
Це і є рішення поставленої задачі.
Перетворемо формулу (12). Обрахуємо інтеграл, що стоїть в круглих душках:
. (13)
Це перетворення інтеграла зроблено шляхом підстановки
. (14)
Позначимо
. (15)
Диференціюючи, отримаємо:
.
Інтегруючи по частинах, знайдем:
або
Інтегруючи це диференціальне рівняння, отримаєм:
. (16)
Знайдем постійну С. З (15) слідує:
Отже, в рівності (16) має бути
.
Тоді,
. (17)
Значення (17) інтеграла (15) підставляємо у (13)
.
Підставляючи замість його вираз (14), отримаємо кінцеве значення інтеграла (13):
. (18)
Підставивши цей вираз інтеграла у рішення (12), отримаємо:
. (19)
Ця формула, інтеграл Пуассона, представляє собою рішення поставленої задачі.
Встановимо фізичний зміст формули (19). Розглянемо функцію
0 при - *(х)= (x) при x0 x x0+ x, (20)
0 при x0+ xТоді функція
(21)
є рішенням рівняння (1), що приймає при t=0 значення *(х). Приймаючи до уваги (20), ми можемо записати:
.
Примінем теорему про середнє до останього інтегралу, отримаємо:
. (22)
Формула (22) дає значення температури в точці стержня в довільний момент часу, якщо при t=0 в усьому стержні температура u*=0, крім відрізка [x0,x0+ x], де вона рівна (х). Сума температур виду (22) і дає рішення (19). Замітимо, що якщо - лінійна густина стержня, с - темплоємність матеріала, то кількість тепла в елементі [x0,x0+ x] при t=0 буде
Q ( ) x c. (23)
Розглянемо далі функцію
. (24)
зрівнюючи її з правою частиною формули (22) з урахуванням (23), говорять, що вона дає значення температур в любій точці стержня в довільний момент часу t, якщо при t=0 в січній було миттєве джерело теплоти з кількістю тепла Q=c .
Тема: Рішення задачі Діріхле для кола.
Нехай в площині 0ху є коло радіусом R з центром на початку координат і на його окружності задана деяка функція f( ), де - полярний кут. Потрібно знайти функцію u(r, ), непреривну в колі, включаючи границю, задовільняючу всередині кола рівнянню Лапласа
. (1)
і на окружності кола що приймає задані значення
. (2)
Будем рішати задачу в полярних координатах. Перепишемо рівняння (1) в цих координатах:
(1 )
Будем шукати рішення методом розділення змінних, покладаючи
U=Ф( )R(r). (3)
Підставляючи в ріність (1'), вийде:
r2Ф( )R (r)+rФ( )R (r)+Ф ( )R(r)=0
або
. (4)
Так як ліва частина цієї рівності не залежить від r, а права від , отже, вони рівні постійному числу, яке ми позначаємо через -k2. Таким чином рівність (4) дає нам два рівняння:
Ф ( )+k2Ф( )=0, (5)
r2R (r)+rR (r)-k2R(r)=0 (5 )
Загальне рішення рівності (5) буде
Ф=Аcosk +Bsink . (6)
Рішення рівняння (5 ) будем шукати у формі R(r)=rm. Підставляючи R(r)=rm у (5 ), дістанемо:
r2m(m-1)rm-1-k2rm=0
або
m2-k2=0.
Отже, маємо два лінійно незалежних рішення rk і r-k. Загальне рішення рівняння (5 ) буде
R=Crk+Dr-k. (7)
Вираз (6) і (7) підставляємо у (3):
Uk=(Akcosk +Bksink )(Ckrk+Dkr-k). (8)
Функція (8) буде рішенням рівняння (1 ) при довільному значенні k, відмінним від 0. Якщо k=0, то рівняння (5) і (5 ) приймають вид:
Ф =0, rR(r)+R (r)=0,
отже,
U0=(A0+B0 )(C0+D0lnr). (8 )
Рішення має бути періодичною функцією від , так як при одному і тому ж значенні r при і +2 ми маємо мати одне і те ж значення рішення, тому що розглядається одна і та ж точка кола. Виходячі з цього очевидно, що у формулі (8 ) має бути В0=0. Далі, ми шукаємо рішення, непреривне і кінцеве в колі. Отже, в центрі кола при r=0 рішення має бути кінцевим, і тому у формулі (8 ) має бути D0=0, а у формулі (8) Dk=0.
Таким чином, права частина (8 ) перетворюється в добуток А0С0, яке ми позначимо як А0/2. Отже,
. (8 )
Ми будем складати рішення нашої задачі у вигляді суми рішень виду (8), так як сума рішень є рішення. Сума має бути періодичною функцією від . Для цього k має приймати цілі значення. Ми маємо обмежитись тільки додатніми значеннями
K=1, 2, …, n, …,
так як в силу произвольности постійних А, В, С, D від'ємні значення k нових частинних рішень не дають. Отже,
(9)
(постійна Сn включена у An i Bn). Тепер підберемо произвольные постійні An і Bn так, щоб задовільнялась крайова умова (2). Підставляючи в рівність (9) r=R, на основі умови (2) дістанемо:
. (10)
Щоб мала місце рівність (10), потрібно, щоб функція f( ) розкладалась в ряд Фур'є в інтервалі (- , ), та щоб AnRn і BnRn були її коефіцієнтами Фур'є. Отже, An і Bn мали визначатись по формулам:
. (11)
Отже, ряд (9) з коефіцієнтами, визначиними по формулам (11), буде рішенням нашої задачі, якщо допускає почленне двухкратне диференціювання по r і . Перетворемо формулу (9). Підставляючи замість An і Bn їх вирази (11) і виконуючі тригонометричні перетворення, дістанем:
. (12)
Перетворимо вираз, що стоїть в квадратних душках:
. (13)
Замінюючи вираз, що в квадратних душкаху у формулі (12), виразом (13), отримаюмо:
. (14)
Формула (14) називається інтегралом Пуассона. Шляхом аналізу цієї формули доводиться, що якщо формула f( ) неперервна, то функція U(r, ), визначена інтегралом (14), задовільняє рівність (1 ) і при r R буде U(r, ) f( ), тобто U(r, ) являє собою рішення поставленої задачі Діріхле для кола.
Loading...

 
 

Цікаве