WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаФізика → Основні задачі математичної фізики - Реферат

Основні задачі математичної фізики - Реферат

виконуватись рівності:
u(0,t)=0,
u(l,t)=0.
Цірівності є граничними умовами для нашої задачі.
В початковий момент t=0 струна має визначену форму, яку ми їй надали. Нехай ця форма визначається функцією f(x). Таким чином, має бути
. (2)
Далі, в початковий момент має бути задана швидкість в кожній точці струни, яка визначається функцією (х).Таким чином, має бути
. (3)
Умови (2) і (3) являються початковими умовами.
Тема: Розв'язок задачі Коші методом Даламбера.
Розглянемо ще один метод рішення хвильового рівняння - метод Даламбера.
Візьмем випадок, коли граничні умови нас не цікавлять або коли їх можна не враховувати. В цих випадках задача ставиться так:
Знайти рішення хвильового рівняння
Utt-a2uxx=0 (t=y, a11=-a2, a12=0, a22=1),
Задовільняюче початковим умовам
U(x,0)= (x); ut(x,0)= (x)
де (х) і (x) - задані у функції.
Зведем хвильове рівняння до канонічного виду, що містить змішану похідну. Тут характеристичне рівняння
A11dt2-2a12dxdt+a22dx2=0
Прийме вид -a2dt2+dx2=0,
або dx2-a2dt2=0.
Воно розпадається на два рівняння:
dx-adt=0 і dx+adt=0
інтеграли яких будуть x-at=C1, x+at=C2
введемо нові змінні
=x-at, =x+at.
Тоді
х=1, t=-a, x=1, t=a,
ux=u x+u x=u +u ,
uxx=u x+u x+u x+u x=u +2u +u ,
ut=u t+u t=-au +au ,
utt=-au t-au t+au t+au t=a2u -2a2u +a2u .
Підставивши uxx, utt в вихідне рівняння, отримаємо
a2u -2a2u +a2u -a2(u +2u +u )=0,
-4a2u =0,
u =0.
Отримане рівняння можна записати як:
.
Звідси випливає, що u не залежить від :
u =f*( ),
де f*( ) - довільна функція .
Інтегруючи останню рівність по при фіксованому , маємо
.
де f1( ) і f2( ) - довільні двічі диференціюючі функції аргументів і .
Враховуючи, що =х-at і =x+at, дістаєм загальне рішення даного рівняння у вигляді
u(x,t)=f1(x-at)+f2(x+at).
Визначимо функції f1 і f2 так, щоб функція u(x,t) задовільняла початковим умовам:
u(x,t)=f1(x)+f2(x)= (x),
ut(x,0)=-af 1(x)+af 2(x)= (x).
Таким чином, для знаходження функцій f1 і f2 маємо систему рівнянь
f1(x)+f2(x)= (x),
-af 1(x)+af 2(x)= (x).
Інтегруючи другу рівність, отримаємо
де х0 і С - постійні. Тоді
f1(x)+f2(x)= (x),
.
Звідси знаходимо
,
і
.
Підставивши у вираз для u(x,t) знайдені значення f1 і f2, отримаємо
,
.
Ця рівність називається формулою Даламбера.
Раніше функцію u(x,t) ми записували як:
u(x,t)=f1(x-at)+f2(x+at),
де перший додаток
при x-at=const зберігається постійне значення. Отже, функція f1(x-at) описує розповсюдження прямої бігучої хвилі без викревлення.
Аналогічно функція
являє собою обратну біжучу хвилю без викревлень, що розповсюджуються з тією ж швидкістю, але в від ємному напрямку вісі 0Х.
В цілому процес розповсюдження коливань, функції u(x,t), представляє собою суперпозицію (накладання) прямої та оберненої біжучих хвиль без викревлень.
Лекція №2
План
1. Рівняння теплопровідності.
2. Розв'язок задачі методом перетворення Фур'є.
3. Рівняння Пуассона.
4. Розв'язок задачі Діріхле в крузі методом Фур'є.
Питання до самоконтролю
1. Вияснити фізичний зміст першої крайової задачі рівняння теплопровідності в однорідному стержні.
2. Яка кількість теплоти протікає через поверхню S в просторі?
3. Як називається вираз в дужках у рівнянні
Що це за рівняння?
4. В чому полягає задача Коші для випадку стержня, обмежаного з однієї сторони?
5. Записати інтеграл імовірностей.
6. Яку умову повинні задовільняти частинні розв'язки задачі Діріхле в крузі?
Література:
6. А.Н.Тихонов, А.А.Самаровский "Уравнения математической физики", Гостехиздат, 1954.
7. Н.С.Пискунов "Диференциальное и интегральное исчисление", т.ч., Москва, 1972.
8. П.И.Чинаев, Н.А.Минин и др. "Висшая математика, специальные главы", Киев, 1981.
9. О.В.Мантуров та ін. "Математика в поняттях, означеннях, термінах", т.ч., Київ, 1986.
10. П.Е.Данко, А.Г.Попов "Высшая математика в упражнениях и задачах", ч.2, Москва, 1974.
Лекція №2.
Тема: Рівняння теплопровідності.
Розглянемо однорідний стержень довжини l. Будемо вважати, що бічна сторона стержня теплопроникна та що в усіх точках поперечного січення стержня температура однакова. Дослідимо процес розповсюдження тепла в стержні.
Розмістимо вісь 0Х так, що один кінець стержня буде співпадати з точкою х=0, а другий - з точкою х=l (див. рис.). Нехай u(x,t) - температура в січній стержня з абсцисой х в момент t. Дослідним шляхом визначимо, що швидкість розповсюдження тепла пролягаючого через січну з абсцисой х за одиницю часу, визначається формулою
(1)
розглянем елемент стержня, заключений між січними з абсцисами х1 і х2 (х2-х1= х). Кількість тепла, що пройшло через січну з абсцисою х1 за час t, буде рівно
(2)
те ж саме для січної з абсцисою х2
(3)
Прилив тепла Q1- Q2 в елемент стержня за час t буде рівний:
(4)
(Ми використали теорему Лагранжа до рівності ).
Цей прилив тепла за час t пішов на підвищення температури елемента стержня на величину U:
Q1- Q2=cq xS U
(5)
де с - теплоємність речовини стержня, q - щільність речовини стержня (q xS - маса елемента стержня).
Прирівнюючи вирази (4) і (5) одної і тої ж кількості тепла Q1- Q2, вийде:
або
.
Позначаючи k/cq=a2, ми одержуєм:
(6)
Це і є рівняння теплопровідності в однорідному стержні.
Щоб рішення рівняння (6) було повністю визначено, функція u(x,t) має задовільняти крайові умови. Крайові умови для рішення рівняння (6) можуть бути різні. Умови, які відповідають так званій першій крайовій задачі для 0 t T, слідуючі:
u(x,t)= (x) (7)
u(x,t)= 1(t) (8)
u(x,t)= 2(t) (9)
Фізичні умови (7) (початкові умови) відповідають тому, що при t=0 в різних січних стержня задана температура, рівна (х). Умови (8) і (9) (граничні умови) відповідають тому, що на кінцях стержня при х=0 і при х=l підтримується температура, рівна 1(t) і 2(t) відповідно.
Тема: Розв'язок задачі методом перетворення Фур'є.
Нехай в початковий момент задана температура в різних січних необмежаного стержня. Потрібно визначити розподіл температури в стержні в наступні моменти часу.
Якщо стержень співпадає з віссю 0Х, то математично задача формулюється слідуючим образом. Знайти рішення рівняння
(1)
в області - u(x,0)=
Loading...

 
 

Цікаве