WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаФізика → Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики - Реферат

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики - Реферат

або (1)

Це рівняння є одним з найважливіших у теорії внутрішньої будови зір. За його допомогою оцінюють температуру в надрах тієї чи іншої зорі.

Будемо вважати в першому наближенні, що зоря однорідна, тобто густина в ній не змінюється з відстанню від центра. Відношення приростів величин dp і dr, які входять у формулу (1), замінимо різницями їх значень на поверхні зорі (тут p = 0, r = R) та в її центрі (р = рc, r = 0):

Врахуємо, що M(r)→M, якщо . Тоді матимемо:

(2)

Оскільки при то з цих двох останніх співвідношень знаходимо, що

(3)

Підставляючи значення відповідних величин для Сонця: M⊙=2∙1030 кг, R⊙=6,95∙108 м, а також сталих , знаходимо, що температура в центрі однорідного за густиною Сонця становила б . Точні обрахунки за допомогою сучасних ЕОМ дають те саме значення. Це приклад того, як шляхом наближених оцінок можна дістати досить вірогідне значення певного фізичного параметра.

При стискуванні зорі половина гравітаційної енергії витрачається на розігрівання її надр. Ця обставина також дає змогу оцінити температуру зоряної речовини. Пригадаємо, що середня енергія однієї частинки де - стала Больцмана. Якщо маса зорі рівна М, а середня маса частинки m, то зоря складається М/m частинок. Їх повна теплова енергія

(4)

Половина потенціальної енергії зорі – це Порівнюючи ці дві величини (), знаходимо середнє значення температури речовини зорі:

(5)

Нехай Сонце сформувалося з чистого водню. Тоді маса частинки . Підставляючи у формулу (5) числові значення всіх параметрів, знаходимо, що .

Як бачимо, температура в надрах зір сягає значення мільйонів градусів, що цілком достатнє для звільнення енергії внаслідок реакцій синтезу хімічних елементів.

РИТМИ ПУЛЬСАЦІЙ ЗІР

Розглянемо задачу про визначення періоду Р пульсації зорі масою М і радіусом R. Використаємо теорію розмірностей. Очевидно, що процес пульсації зумовлений тяжінням зорі і визначається величиною її маси М, радіусом R, сталою G. Запишемо розмірності згаданих величин:

[M]=M,

Параметрів у задачі всього чотири (n = 4), з них четвертий є конкретною комбінацією розмірностей, якими характеризуються перші три. Тому в задачу входять три параметри з незалежними розмірностями (n = 3), і відповідно до П-теореми з параметрів Р, M, R і G можна скласти один безрозмірний комплекс: (не порушуючи загальності, ми поклали, що показник степеня при Р дорівнює одиниці).

Запишемо комплекс через розмірності кожного з параметрів:

(1)

Так дістаємо систему алгебраїчних рівнянь:

та їх розв'язки

Шукане співвідношення для періоду пульсації Р:

(2)

Оскільки (середня густина зорі),

то це співвідношення можна переписати ще й так:

(3)

А це добре відоме в астрофізиці співвідношення "період - середня густина", яке і виконується для всіх пульсуючих зір.

Пульсуючу зорю можна розглядати як своєрідний сферичний маятник, який ритмічно з періодом Р розширюється і стискується. Розглянемо, як методом теорії розмірностей можна дістати відому формулу для періоду коливання математичного маятника. Тут визначальними параметрами є період Р, довжина маятника l і прискорення сили тяжіння g (отже, n = 3). їхні розмірності такі: [Р]=T, [l]=L і [g]=L/T2. Параметрів із незалежними розмірностями два (m = 2). Таким чином, матимемо один безрозмірний комплекс , або

(4)

Відповідна система алгебраїчних рівнянь така:

Звідси

Отже, безрозмірний комплекс набуває вигляду: , що дає таку формулу для періоду Р:

(5)

Цікаво, що коли підставити в цю формулу замість прискорення g його значення, записане через масу і радіус зорі , а замість довжини маятника l — радіус зорі R, то дістанемо формулу (3) для періоду пульсації зорі. Фізична суть обох явищ – пульсації зорі й коливання маятника – одна і та сама. Це – механічні рухи у полі тяжіння, обумовлені невеликими відхиленнями від положення рівноваги.

ЗАДАЧА ПРО СИЛЬНИЙ ВИБУХ

На певному етапі еволюції зоря, маса якої М ≥ 1,2М⊙, практично раптово стискується (відбувається "вибух всередину" – імплозія). При цьому наявні в її речовині електрони "втискуються" в ядра складніших елементів (проходить реакція – "нейтронізація" речовини), внаслідок чого атомні ядра розпадаються на окремі нейтрони. І коли маса залишка зорі – її ядра – М < 3М⊙, то цей нейтронний газ здатний відновити рівновагу зорі, але вже при розмірах .

Обчислимо насамперед величину потенціальної енергії , яка звільняється при зменшенні розмірів зорі з масою М = 3М⊙ від до :

що дає величину енергії .

При спалаху наднової оболонка, маса якої сягає величини m≈M⊙, розлітається в навколишній простір із швидкістю υ = 10 000 км/с. Кінетична енергія цієї речовини

Як бачимо, "коефіцієнт корисної дії" такого вибуху невеликий: в кінетичну енергію оболонки переходить усього близько 1 % звільненої енергії. Не менше 99 % її "викрадають" нейтрино, що виникають у центральних зонах зорі і, пронизуючи всю її товщу, виходять у міжзоряне середовище. І вже зовсім мала частка (близько 0,01 Е) висвічується, тобто поширюється у навколишньому просторі у вигляді квантів електромагнітного випромінювання.

Згаданий 1 % енергії – це все-таки величезна її частина. Тому після спалаху зорі формується потужна ударна хвиля, яка й поширюється певний час (до затухання) у міжзоряному середовищі. Пригадаємо, що ударна хвиля виникає завжди, як тільки відбулося миттєве виділення значної кількості енергії. У місці вибуху температура і тиск газу раптово зростають. Нагрітий газ (його параметри позначають індексом "2") розширюється в бік холодного (тут параметри позначаються індексом "1": Т1, р1 і т. д.) із швидкістю, яка на початку може істотно перевищувати швидкість звуку а1. Межа, яка розділяє два стани — нагрітий і холодний, зветься фронтом ударної хвилі, її швидкість позначимо через D. Отже, D>а1.

При переході газу через фронт ударної хвилі виконуються закони збереження маси, імпульсу і енергії, з яких випливають певні співвідношення для величин стрибків параметрів газу, які при D>>a1 і γ=5/3 (одноатомний газ) мають такий простий вигляд:

(1)

Тут μ2 – молекулярна маса за фронтом ударної хвилі, В – універсальна газова стала.

Так, якщо в атмосфері зорі чи в міжзоряному середовищі рухається ударна хвиля із швидкістю "всього" 100 км/с, то при μ2 = 0,5 (іонізований водень) температура безпосередньо за фронтом хвилі зростає до величини T2=110 000 К. Якщо ж D = 1000 км/с, то T2 ≈ 107 К.

При спалахах наднових зір швидкості речовини, що розлітається у навколишній простір, сягає значень 10 000 км/с. Це значить, що попереду самої речовини у міжзоряне середовище рухається ударна хвиля, яка і нагріває наявний там газ до високих температур. З часом цей газ поступово охолоджується: на місці спалаху зорі виникає потужне джерело як радіо-, так і (іноді) оптичного і навіть рентгенівського випромінювання.

Задачу, яка при цьому виникає, можна зформулювати так: знайти, за яким законом у міжзоряному середовищі (де густина ρ1 ≈ 2∙10-21 кг/м3) поширюється ударна хвиля? І яку відстань вона проходить там, тобто який об'єм буде охоплено цим збуренням?

Певну відповідь тут дають розв'язки, отримані ще 1944 р. Л. І. Сєдовим (СРСР) якраз на основі теорії розмірностей. Простежимо тут, з яких міркувань вони були отримані.

Нехай у певному середовищі з густиною ρ1 відбулося миттєве виділення енергії Q. Треба знайти, як із часом t змінюється радіус фронту ударної хвилі r та швидкість руху хвилі . У випадку сильної ударної хвилі величиною тиску ρ1 перед її фронтом можна знехтувати порівняно з тиском за фронтом.

Отже, задача описується чотирма такими параметрами: r, t, Q і ρ1 Неважко переконатися, що три з них мають незалежні розмірності, бо

З них і складаємо один безрозмірний комплекс

(2)

що і дає закон руху сильної ударної хвилі в однорідному середовищі. Підставляючи розмірності величин, знаходимо, що

Прирівнюючи показники степенів нулеві, отримуємо алгебраїчні рівняння

та їх розв'язки

Отже, при П ≈ 1, що підтверджується зіставленнями із спостереженнями, з співвідношення (2) і випливає закон руху сильної ударної хвилі в однорідному середовищі:

(3)

Тоді швидкість фронту хвилі, у свою чергу, визначається, як

(4)

Саме цей розв'язок і дав можливість оцінити, зокрема, вік залишків спалахів наднових зір. Наприклад, у сузір'ї Лебедя є відома волокноподібна туманність, радіус якої r = 20 пк, а швидкість розширення υ ≈ 115 км/с. Співставлення цих даних з розв'язками (3) і (4) приводить до висновку, що спалах наднової зорі тут відбувся близько 70 000 років тому.

Як показують спостереження, зараз у відносно недалеких околицях Сонця налічується понад 100 залишків спалахів наднових зір. За всю історію нашої Сонячної системи такі космічні катастрофи відбувалися не менш 3–4 рази на відстанях менших ніж 10 пк. І ще в 1957 р. Й.С.Шкловський та В.І.Красовський висловили думку, що практично раптове вимирання бл. 60 млн. років тому велетенських форм життя на Землі – динозаврів, іхтіозаврів тощо – якраз і може бути пов'язане зі спалахом наднової зорі у близьких околицях Сонця. Це – один з прикладів того, що процеси, які відбуваються далеко за межами нашої планети, можуть мати вплив і на всю її біосферу...

Loading...

 
 

Цікаве