WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаФізика → Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики - Реферат

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики - Реферат

Реферат на тему:

Елементи теорії розмірностей та їх застосування для аналізу окремих задач астрофізики

КОСМІЧНА ФІЗИКА

Завданням цієї галузі науки є вивчення властивостей небесних тіл, міжпланетного, міжзоряного і міжгалактичного середовища на основі знань про найголовніші фізичні та хімічні властивості матерії. Один з її підрозділів — астрофізика займається встановленням у вигляді формул певних співвідношень між окремими параметрами зір і туманностей. Наприклад, визначають температуру надр зорі, якщо її маса і радіус відомі тощо. Результати знаходять шляхом розв'язування (за допомогою ЕОМ) систем складних диференціальних рівнянь. Проте загальні співвідношення між згаданими параметрами можна дістати на підставі теорії розмірностей. Деякі з таких задач космічної фізики ми і розглянемо у цьому розділі.

КРИТЕРІЙ ДЖИНСА

За сучасними уявленнями зорі формуються з уламків газопилових хмар. Ще в 1902 р. Дж. Джинс довів, що нескінченно протяжна хмара не може перебувати у зрівноваженому стані дуже довго. Адже у міжзоряному середовищі неперервно виникають і поширюються найрізноманітніші хвильові рухи, зумовлені зіткненнями газопилових хмар. Відомо ж, що коли через певне середовище проходить збурення (звукова хвиля), то в ньому утворюються згущення і розрідження.

Нехай ρ — густина середовища, Т — температура, — відповідна їй швидкість звуку в цьому середовищі (γ — відношення питомих теплоємностей, В — універсальна газова стала, μ — молекулярна маса). Джинс установив, що коли довжина хвилі λ звукового збурення менша деякого критичного значення λj, причому (G — гравітаційна стала)

(1)

то сили пружності (тиск газу) у змозі повернути частинки середовища до первісного стану. Якщо ж λ > λj, то згущення, яке виникло, стає зародком конденсації і далі вже притягує до себе навколишню речовину. Стискуючись, такий фрагмент хмари (його об'єм , маса ) і стає протозорею, а пізніше — зорею у повному значенні цього слова.

Співвідношення (1) можна дістати і на підставі теорії розмірностей, використовуючи так звану П-теорему. Суть її можна сформулювати так. Нехай певна задача описується n параметрами A1, A2, ..., Аn, розмірності яких позначимо через [A1], [A2], ..., [Аn]. Припустимо, що m параметрів з них мають незалежні розмірності (наприклад, маса зорі [M] = кг, її розміри [R] = м). П-теорема стверджує, що зі згаданих n параметрів можна скласти безрозмірних величин ("комплексів"), кожний з яких і буде з точністю до сталого коефіцієнта визначати певний закон природи. Розглянемо кілька прикладів, починаючи від критерію Джинса.

Як бачимо, задача про гравітаційну нестійкість туманності характеризується параметрами λ, G, ρ, а, розмірності яких можна записати так:

де L - розмірність довжини, Т - часу, М - маси. Неважко зорієнтуватися, що з цих чотирьох параметрів задачі три мають незалежні розмірності. Тому відповідно до П-теореми з них можна скласти один безрозмірний комплекс: , де - шукані показники степенів. Підставляючи розмірності кожного з параметрів, запишемо це співвідношення так:

(2)

Оскільки П — величина безрозмірна, то прирівнявши показники степенів до нуля, дістанемо систему алгебраїчних рівнянь

і їх розв'язки:

Отже, безрозмірний комплекс має вигляд Розв'язавши його відносно критичної довжини, знаходимо:

(3)

Як бачимо, теорія розмірностей дає змогу дістати залежність між параметрами задачі з точністю до множника, величина якого часто близька до одиниці.

Тут варто підкреслити, що величина λ, знайдена за формулою (3), може бути прийнятою за λj. Бо в комплексі (2) порівнюємо дві величини: гравітаційну енергію згустка U і його теплову енергію Е. Оскільки маса згустка , то потенціальна енергія . Із свого боку, теплова енергія в розрахунку на одиницю маси . Зіставивши величини U і Е, знаходимо, що , тобто здобутий раніше (з точністю до сталої величини) вираз (3).

ПОТЕНЦІАЛЬНА ЕНЕРГІЯ ЗОРІ

На окремих етапах розвитку зір певну роль відіграє таке джерело енергії, як гравітаційне стискування зорі, що супроводжується "звільненням потенціальної енергії". Залежність потенціальної енергії зорі від її параметрів – маси M і радіуса R можна знайти наближено.

Зорю, що має масу M і радіус R, розділимо уявно на дві рівні частини. Знайдемо роботу, яку треба витратити на відокремлення двох половинок на відстань Δr. Відомо, що робота дорівнює добуткові сили на пройдений шлях: . Приймемо, що величина діючої сили дорівнює силі взаємного притягання, а її середнє значення на проміжку від R до 2R рівне

Поклавши, що , знаходимо

Проте це ще не вся робота, яку можна здійснити над половинками зорі. По-перше, їх можна розсунути на більшу відстань, як кажуть, "на нескінченність". По-друге, кожну з цих половинок у свою чергу можна поділити пополам і також взаємно їх віддалити. Склавши всю виконану роботу над "розпорошенням" зорі, дістаємо формулу:

≅ (1)

Підставивши числові значення усіх величин, знаходимо, зокрема для Сонця, Дж.

Під час стискування газової кулі (якщо тільки зорі утворюються з фрагментів газопилових хмар) маємо обернену картину: енергія не витрачається, а виділяється. І, як показує аналіз, майже половина її при цьому йде на розігрівання зорі, друга половина висвічується.

Формулу для величини потенціальної енергії зорі можна знайти і за допомогою теорії розмірностей. Задача характеризується чотирма параметрами з розмірностями:

[M]=M

так що лише три з них мають незалежні розмірності. Тому можна скласти один безрозмірний комплекс . Або

Звідси дістаємо систему алгебраїчних рінянь для визначення показників степенів

та їх розв'язки x= –1, y= –2, z= 1.

Таким чином, безрозмірний комплекс має вигляд Розв'язавши його відносно потенціальної енергії, маємо:

(1')

А це і є шукана фурмула з точністю до сталої .

Використаємо формулу (1) для U, щоб визначити, скільки речовини повинно випадати на Сонце щороку, щоб забезпечити його втрати енергії. Якщо світність Сонця Дж, а в році налічується с, то за рік Сонце втратить енергію . Приріст потенціальної енергії за рахунок випадання на Сонце речовини знаходимо диференціюванням виразу для U по M при сталому значенні R:

Оскільки за умовою виконується рівність , то

і приріст маси dM визначається так:

(2)

Підставляючи відомі величини у формулу (), знаходимо, що dM=2,2∙1022 кг, тобто 0,0034 маси Землі за рік, або одна маса Землі за кожні 294 роки.

А ось як змінювався б період обертання Землі навколо Сонця під час зростання його маси. Швидкість колового руху Землі по орбіті радіуса а рівна , а період її обертання

(3)

Щоб знайти приріст періоду dT, формулу (3) необхідно продиференціювати по М:

(4)

що дає за рік. Оскільки половина звільненої енергії витрачається на розігрівання надр Сонця, то величини dM і потрібно подвоїти.

Обчислимо, наскільки мав би зменшуватися радіус Сонця, щоб, як це твердив Гельмгольц, за рахунок цього ефекту світність Сонця підтримувалася на сучасному рівні. Диференціюємо формулу (1) по R, вважаючи М сталим: . Прирівнюючи цей приріст потенціальної енергії величині знаходимо, що і

(5)

Після підстановки числових значень маємо: dR = 15 м. Оскільки, як уже згадувалося, половина звільненої енергії витрачається на розігрівання зорі, це число подвоюємо.

І, нарешті, знайдемо час, протягом якого Сонце висвічувало б енергію за рахунок гравітаційного стискування, якби його світність не змінювалася:

Такий проміжок часу прийнято називати шкалою Гельмгольца. Час начебто і не малий, але, ще в середині ХІХ століття палеонтологічні дані переконливо доводили, що насправді вік нашої планети (а отже і Сонця) набагато більший! Тому то астрономи і фізики і були змушені шукати (і знайти) нове джерело енергії — синтез в надрах зір ядер важчих хімічних елементів.

ТЕМПЕРАТУРА ЗОРЯНИХ НАДР

Перевіримо тепер, чи справді температура у надрах зір досягає значень, достатніх для перебігу там реакцій синтезу складніших хімічних елементів.

Насамперед необхідно констатувати, що Сонце й інші зорі протягом мільярдів років перебувають у стані механічної рівноваги. Це означає, що на будь-якій відстані r від центра зорі сила тяжіння, спрямована до центра, зрівноважена тиском, величина якого зростає у напрямі до центра зорі.

Розглянемо елемент газу на відстані r від центра зорі. Нехай густина газу ρ, висота стовпчика площа поперечного перерізу стовпчика S. Тоді маса вибраного елемента . Відповідно до закону всесвітнього тяжіння цей елемент маси притягується усією масою зорі M(r), яка міститься всередині сфери радіуса r, із силою

Коли б сила притягання нічим не зрівноважувалася, то виділений нами елемент маси вільно падав би до центра зорі. Час падіння можна оцінити за формулою: . Прийнявши за довжину шляху радіус зорі R і взявши до уваги, що прискорення сили тяжіння , знаходимо час падіння речовини до центра зорі – так званий гідродинамічний час:

Неважко переконатися, що для Сонця tг ≈ 3000 с. Але зорі перебувають у рівновазі мільйони років. Отже, зоря існує у стійкому стані тому, що з глибиною (у напрямі до центра) температура Т і густина ρ, а відповідно і тиск p, зростають. Пригадаємо, що для ідеального газу ці параметри пов'язані співвідношенням . Тут, як і раніше, В - газова стала, μ – молярна маса. Для "типового" хімічного складу зоряних атмосфер (близько 67 % за масою водню і 31 % гелію), у тому числі й сонячної, μ=0,6.

На відстані r1 і r2 від центра зорі тиск відповідно дорівнює р1 і р2, причому приріст тиску . Саме ця різниця тисків і зрівноважує силу тяжіння згаданого елемента газу. Таким чином, умова рівноваги запишеться так:

Loading...

 
 

Цікаве