WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаФізика → Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках - Курсова робота

Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках - Курсова робота

друге рівняння на два:
(3.3)
Повернемось до першого рівняння й позначимо:
де перший і другий члени мають зміст дійсної та уявної частини хвильової функції відповідно. Тоді перше рівняння системи матиме вигляд:
Очевидно, що ліва і права частини будуть рівні, коли рівні відповідні дійсні та уявні частини. Тоді наше рівняння розпадається на дві рівності від дійсних змінних. Враховуючи (3.3), запишемо шукану систему рівнянь:
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Початкові та граничні умови. Інтеґрування рівнянь методом Рунґе-Кутта.
Розв'яжемо рівняння (3.4)-(3.7), застосувавши періодичні граничні умови [4][5]:
де N - кількість молекул у ланцюжку, нумерація молекул - від 1 до N. Крім того, при розрахунку першої молекули в рівняннях (3.4)-(3.5) з'явиться функція від молекули n=0. Уявивши собі ланцюжок у вигляді кільця, можна зрозуміти, що нульова молекула збігається з N-ою :
Початкові умови в момент =0, взагалі кажучи, невідомі, тому можна обрати їх довільними. Але зрозуміло, що вони будуть відрізнятися від справжніх початкових умов, які відповідають локалізованим станам, і довільне початкове збудження ми зводимо до потрібного стаціонарного розв'язку за рахунок штучного введення тертя (3.2). Тоді ми отримаємо "правильні" розв'язки, не знаючи, з якими початковими умовами вони насправді отримуються. Під час розрахунків зручно посадити збудження на молекулу n=N/2 (N беремо парним) і декілька сусідніх, і прослідкувати його еволюцію:
Розрахунки здійснено методом Рунґе-Кутта четвертого порядку, докладно описаному в [10], [11], [12]. Кількість рівнянь, які розраховувались одночасно, є змінною і дорівнює 4N (по 4 рівняння для кожної молекули, в загальному випадку кожнерівняння містить функцію від 4N+1 змінних, але реально - від 4 змінних). Обчислювались значення функцій
у кожен момент часу =0..T (T - кінцевий час еволюції, задається довільно) із заданим кроком . Похибка цього методу має порядок 4, і при обраному нами =0.05 отримували розв'язки із похибкою порядку 10-6 [10][12].
Для виконання обчислень було написано програму на мові PHP, яка створювала масив даних, з яких побудовано графіки за допомогою Microsoft Excell 2000. Код програми із коментарями та описом процесу розрахунків наведено у Додатку.
Результати чисельних обчислень
Розрахунки проводились для декількох значень коефіцієнта g0 при сталих інших параметрах:
Назва параметра Значення
Кількість молекул в ланцюжку, N 20
Кінцевий момент часу, T 100
Крок, 0,05
Коефіцієнт j 1
Коефіцієнт c0 0,8
Коефіцієнт тертя 2
Нагадуємо, що всі наведені в таблиці величини є безрозмірними.
Дослід 1. g0=0,5. У початковий момент часу квадрат амплітуди хвильової функції має вигляд:
Графік 1. Квадрат амплітуди хвильової функції | n|2 у залежності від n в початковий момент часу.
З графіків 2-6 у різні моменти часу бачимо, що врешті-решт хвиля "розсипається", перетворюючись на гармонійну, тобто збудження делокалізується і рівномірно розподіляється по молекулах ланцюжка. Чому так відбувається?
Графік 2. Квадрат амплітуди хвильової функції | n|2 у залежності від n при =0,8.
Графік 3. Квадрат амплітуди хвильової функції | n|2 у залежності від n при =1,8.
Зрозуміло, що система врешті-решт мусить прийти до стану рівноваги, і гармонійні коливання - це тривіальний стаціонарний стан, який ми і отримали. На графіку 4 видно, як збудження перейшло з центру до країв, а потім (графіки 5-6) рівномірно поширилось на всі вузли одновимірної ґратки (молекули ланцюжка):
Графік 4. Квадрат амплітуди хвильової функції | n|2 у залежності від n при =5.
Графік 5. Квадрат амплітуди хвильової функції | n|2 у залежності від n при =15.
Графік 6. Квадрат амплітуди хвильової функції | n|2 у залежності від n при =30.
Делокалізація відбувається приблизно в момент часу =10 і вже при =30 маємо практично стабільну монохроматичну хвилю. Подивимось, що станеться з нею далі:
Графік 7. Квадрат амплітуди хвильової функції | n|2 у залежності від n при =50.
Графік 8. Квадрат амплітуди хвильової функції | n|2 у залежності від n при =100.
Бачимо, що хвиля є стабільною і стаціонарною, а, отже, цьому стану відповідає найменша енергія.
Дослід 2. g0=1,8. Збільшуючи значення параметра g0, дійшли такого самого результату, як і в попередньому досліді, тобто отримали стаціонарний стан у вигляді монохроматичної хвилі. На графіках 9-14 показано еволюцію початкового збудження та перетворення його у стоячу гармонійну хвилю. Тут ми прослідкуємо зміну не тільки квадрату амплітуди хвильової функції квазічастинки, а й зміну зміщення в часі. Початкове збудження задаємо таким самим, як і в першому досліді (графік 1). Спершу коливання майже не змінюються:
Графік 9. Квадрат амплітуди хвильової функції | n|2 (тонка лінія)
та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при =1.
Графік 10. Квадрат амплітуди хвильової функції | n|2 (тонка лінія)
та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при =2.
На графіках 10-11 бачимо, як хвиля поступово руйнується, а максимум збудження переходить від центру до країв і подвоюється:
Графік 11. Квадрат амплітуди хвильової функції | n|2 (тонка лінія)
та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при =5.
Нарешті, на графіках 12-15 спостерігаємо перехід хвилі у гармонійну:
Графік 12. Квадрат амплітуди хвильової функції | n|2 (тонка лінія)
та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при =11,1.
Графік 13. Квадрат амплітуди хвильової функції | n|2 (тонка лінія) та зміщення un (товста лінія) при =30.
Графік 14. Квадрат амплітуди хвильової функції | n|2 (тонка лінія)
та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при =50.
Графік 15. Квадрат амплітуди хвильової функції | n|2 (тонка лінія)
та зміщення un (товста лінія) у залежності від n при =100.
Бачимо, що кінцева хвиля є дещо ширшою й має іншу амплітуду, ніж та, що утворилася на графіку 8, оскільки має іншу фазу, проте також є стабільною і відповідає стану рівноваги системи.
Висновки
У цій роботі досліджувалось поширення колективних збуджень у одновимірному молекулярному ланцюжку, який є моделлю поліпептидного ланцюжка білкової -спіральної молекули. Зокрема, розглядався рух "зайвого" електрона у полі деформації цього ланцюжка.
Було зроблено огляд двох моделей цього руху, перша з яких враховує взаємодію електрона із міжмолекулярними (акустичними) коливаннями, а друга - з
Loading...

 
 

Цікаве