WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаФізика → Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках - Курсова робота

Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках - Курсова робота

співвідношення й після інтеґрування домножуємо обидви частини на 8 2:
де C - константа інтеґрування (її було перепозначено після домноження). Позначимо S= 2, тоді S Тоді маємо:
Оскільки ми шукаємо локалізовані у обмеженій області простору розв'язки, то амплітуда ( ) на нескінченості повинна прямувати до нуля. Звідси звідки Для того, щоб це виконувалось, має бути B=C=0. Покладемо тоді:
Звідси маємо . Розділяючи змінні, маємо:
де 2x0 - константа інтеґрування. Інтеґруючи ліву частину і перепозначивши маємо:
Звідси (модуль опускаємо, оскільки справа завжди додатній вираз). Тоді маємо:
Підносимо обидві частини до квадрату, спрощуємо і знаходимо S:
У знаменнику бачимо косинус гіперболічний, тому остаточно . Звідси маємо:
Тепер знаходимо проінтеґрувавши (4.23), попередньо поклавши B=0:
Тут x1 - стала інтеґрування.
Остаточно матимемо:
(4.24)
Така хвиля називається солітоном [8], оскільки характеризується локалізацією в певній обмеженій області і рухається зі сталою швидкістю, яка є меншою за швидкість звуку в суцільному середовищі і дорівнює . Отже, за малих значень k, що допустимі в нашій моделі, швидкість солітона буде менша за швидкість звуку (3.4) [2][3][7].
У роботах [4], [5], [8], [9] здійсненочисельне інтеґрування рівнянь (4.14)-(4.15), що підтвердило справедливість континуальної моделі. Як виявилось, в такій моделі гранична швидкість руху солітона є меншою за швидкість звуку.
Нижче ми спробуємо більш детально здійснити аналогічні обчислення для оптичних фононів, отримати чисельними методами солітонні розв'язки та прослідкувати їх еволюцію в часі.
Рівняння, що описують поширення колективних збуджень із урахуванням взаємодії з оптичними фононами. Континуальна модель. Зведення рівнянь до НРШ.
До цього ми розглядали рух квазічастинки в полі деформації ланцюжка, яка описується дисперсійним співвідношенням (4.8). При русі цієї частинки зі швидкістю, що менша за швидкість довгохвильового звуку, утворюються самотні хвилі, які рухаються зі сталою швидкістю і мають незмінну форму. Як вже було зазначено, такі хвилі називають солітонами. Тепер ми розглянемо дещо інший випадок, коли більш суттєвою є взаємодія електрона з оптичними фононами, а акустичні коливання є малими порівняно з внутрішньомолекулярними, і тому першими нехтуємо. Ми будемо розглядати модель взаємодії електрона з бездисперсійними айнштайнівськими фононами (модель Голстайна) [6][7], яка полягає в тому, що всі молекули вважаємо двохатомними і однаковими. Нехай дипольні моменти молекул будуть сталими або змінюватимуться незначно, тоді розглядатимемо тільки недипольні коливання із деякою частотою Ці коливання характеризуються дисперсією (4.9), якою в даній моделі ми нехтуємо, вважаючи її незначною, поклавши v0=0.
Виведемо рівняння поширення збудження для цього випадку. Очевидно, що це будуть рівняння (4.12) із гамільтоніаном (4.2), де Hac = Eac Так само, як і у випадку акустичних фононів, енергія квазічастинки матиме вигляд (4.10), а енергія взаємодії з оптичним фононом зміниться порівняно з (4.11) так:
Константу взаємодії квазічастинки з оптичним фононом ми позначили opt, щоб відрізнити від відповідної константи для акустичних фононів. Роль відносного зміщення молекул un-un-1 тепер грає загальне зміщення un/a кожної молекули.
Гамільтоніан оптичного фонона має вигляд (4.5), а саме .
Звідси загальний гамільтоніан матиме вигляд:
Диференціюванням цього гамільтоніана по n* у другому рівнянні системи (4.12)отримуємо перше шукане рівняння [6][7]:
(4.25)
Друге рівняння отримаємо так само, як ми свого часу отримували (4.15), підставивши гамільтоніан у друге рівняння системи (4.13):
Поділивши обидві частини на M, остаточно матимемо:
(4.26)
Рівняння (4.25)-(4.26) є шуканими і описують рух квазічастинки із урахуванням взаємодії з оптичними фононами. Їх точний аналітичний розв'язок невідомий, але, так само, як і рівняння (4.14)-(4.15), в континуальному наближенні вони дають солітонні розв'язки. Щоб показати це, достатньо отримати нелінійне рівняння Шредінґера, розв'язок якого вже відомий. У наступному пункті буде здійснено чисельне дослідження рівнянь (4.25)-(4.26), а зараз поки що перейдемо знову до неперервної моделі, використовуючи співвідношення (4.16). Тоді отримаємо:
У першому рівнянні виконаємо фазове перетворення аналогічно до того, як ми це робили для акустичних фононів, тобто замінимо , звідки отримаємо:
(4.27)
Друге рівняння перепишемо так:
Так само, як ми це робили раніше, введемо заміну (4.18). Тоді маємо:
Для отримання стаціонарних розв'язків системи (4.25)-(4.26) розглянемо випадок малих швидкостей, коли v2/ 02 << 1. Тоді отримаємо
Позначимо . Тоді, підставивши значення u в (4.27), отримуємо нелінійне рівняння Шредінґера:
(4.28)
Як бачимо, воно нічим не відрізняється від аналогічного рівняння (4.19), отриманого для акустичних фононів, крім коефіцієнту gopt, що пропорційний до opt2, тобто фактично є константою взаємодії квазічастинки з деформацією. У залежності від значення цієї константи, збудження або рівномірно розподілиться по ланцюжку (делокалізований стан, гармонійні коливання), або утвориться автолокалізований стан, тобто солітон, у вигляді (4.24).
Частина ІІІ. Дослідження еволюції колективного збудження молекулярного ланцюжка із урахуванням взаємодії з айнштайнівськими оптичними фононами
Чисельне інтеґрування рівнянь, що описують поширення квазічастинки у полі оптичних фононів. Підготування рівнянь до чисельного інтеґрування.
Для того, щоб чисельно проінтеґрувати рівняння (4.25)-(4.26), слід розділити дійсну і уявну частину, а також знерозмірити всі величини в рівнянні, оскільки з такими величинами простіше працювати. Виконаємо фазові перетворення, замінивши у рівнянні (4.25) . В результаті наша система рівнянь матиме вигляд:
Знерозміримо рівняння, поділивши першу рівність на ? 0. Другу рівність поділимо на 02, і в обох рівняннях замінимо un lun де l має зміст мірила і розмірність м-1. Тоді здобудемо шукані рівняння:
Тепер введемо позначення:
(3.1)
Тоді остаточно наші рівняння матимуть вигляд:
Для чисельного розв'язку задачі в друге рівняння введемо слабке тертя:
(3.2)
Додатково це буде пояснено пізніше, а зараз введемо ще одне позначення:
де має зміст зведеного коефіцієнту тертя. Окрім того, для чисельного інтеґрування нам зручніше мати рівняння першого порядку по часу. Тому позначимо і розіб'ємо
Loading...

 
 

Цікаве