WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаФізика → Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках - Курсова робота

Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках - Курсова робота

Вважатимемо, що це деякі оператори, які відповідають створенню і знищенню деформацій у ланцюжку.
Гамільтоніани, що відповідають енергії акустичних і оптичних фононів, мають вигляд:
(4.4)
(4.5)
Де M - маса кожної молекули, - імпульс, (un - un-1) - відносне зміщення для акустичних фононів, un - сумарне зміщення для оптичних фононів, 0 - частота оптичних коливань. Зміщення і імпульс, спряжений до нього, пов'язані між собою співвідношенням:
(4.6)
Нехай зміщення, імпульс і оператор знищення задаються таким чином:
,
,
де - середнє значення амплітуди нульових коливань з частотою ?k. Неважко переконатись, що співвідношення (4.6) задовільняється.
Підставивши ці значення у вираз для гамільтоніану (4.4) і застосувавши умови ортоґональності , отримаємо операторне представлення акустичного фонона:
(4.7)
де оператори Bk+ і Bk-задовільняють співвідношення:
Схожий вираз можна отримати й для оптичних фононів, але ми цього робити не будемо, оскільки їх буде розглянуто більш детально пізніше [7].
Частота коливань акустичних фононів залежить від хвильового вектора таким чином:
, (4.8)
а в довгохвильовому наближенні sin (ka/2) ka/2, звідки маємо . Фазова і групова швидкості у цьому випадку будуть сталі і дорівнюватимуть [3].
Бачимо, що акустичні фонони мають дисперсію звукових хвиль (достатньо порівняти (4.8) з (3.3) і повернутися до міркувань Частини І.
Оптичні фонони відрізняються від акустичних іншим законом дисперсії. Якщо для других у довгохвильовому наближенні , то перші задовільняють таке дисперсійне співвідношення:
, (4.9)
де v0 - мінімальна фазова швидкість фонона. Її наявність і відрізняє оптичні фонони від акустичних, у яких фазова швидкість є сталою (в континуальному наближенні). Фазова швидкість оптичних фононів змінюється від v0 до нескінченості [6].
Дисперсійні співвідношення (4.8)-(4.9) вважатимемо означенням акустичних і оптичних фононів відповідно.
Рівняння, що описують поширення колективних збуджень із урахуванням взаємодії з акустичними фононами. Континуальна модель. Солітони як розв'язки нелінійного рівняння Шредінґера.
Рівняння, що описують поширення колективних збуджень із урахуванням взаємодії з акустичними фононами. Континуальна модель.
Раніше ми вже зазначали, що гамільтоніан системи, що описує поширення збуджень у молекулярному ланцюжку, складається із гамільтоніана квазічастинки, гамільтоніана фононів і гамільтоніана взаємодії між ними. У співвідношенні (4.2) ми нехтуємо внутрішньомолекулярними коливаннями, і тоді загальний гамільтоніан матиме вигляд:
Як вже було зазначено, гамільтоніан акустичного фонона має вигляд (4.4). Гамільтоніан електрона має зміст суми кінетичної і потенційної енергії, він задається через хвильову функцію квазічастинки і має вигляд:
, (4.10)
де E0 - початкова енергія електрона, - енергія резонансної взаємодії (a - стала ґратки, d - дипольний момент) [3][4].
Нарешті, гамільтоніан взаємодії має вигляд:
, (4.11)
Склавши (4.4), (4.10) і (4.11), матимемо вираз для загального гамільтоніана системи:
де введено позначення - енергія деформації ланцюжка.
Цей гамільтоніан задовільняє гамільтонові рівняння:
де - узагальнені координати, - узагальнені імпульси. Тоді ці рівняння набудуть вигляду:
, (4.12)
Окрім того, поклавши q = un, p= pn, отримаємо другу систему рівнянь:
(4.13)
Підставимо вираз для гамільтоніана у друге рівняння (4.12) і продифереціюємо по n*:
, (4.14)
Це і буде перше шукане рівняння, що описує поширення квазічастинки (перші два члени правої частини) і взаємодії її з деформацією (третій член) [4].
Ліва і права частина цього рівняння мають розмірність енергії, і тому цілком очевидно, що перед нами закон збереження енергії квазічастинки. Рівняння для комплексно спряженої функції [перше з рівнянь (4.12)] є аналогічним до рівняння (4.14), але записаним у спряжених функціях, і тому його не розглядаємо. Зрозуміло, що одного рівняння для електрона недостатньо, потрібно ще рівняння для деформації. Його отримаємо, підставивши гамільтоніан у друге рівняння (4.13) і замінивши pn = Mun. Після спрощення отримаємо друге шукане рівняння [4]:
, (4.15)
Чисельне інтеґрування рівнянь (4.14)-(4.15) у роботах [4], [8] показало, що за певних умов в ланцюжку утворюються автолокалізовані стани квазічастинки, які було названо давидівськими солітонами . Давидов показав це, користуючись довгохвильовою (континуальною) моделлю [3][7]. Як було зазначено раніше, у випадку довгих хвиль середовище можемо вважати суцільним і покласти
(4.16)
де . Підставивши це в наші рівняння, здобудемо:
Під і u ми розуміємо відповідні функції (x,t) та u(x,t). Перетворимо перше рівняння системи:
Замінимо . Підставивши у це рівняння цю заміну і спростивши його, отримаємо остаточно:
(4.17)
Друге рівняння системи ми перепишемо, знехтувавши другою похідною від хвильової функції квазічастинки, вважаючи її малою:
Тепер введемо заміну
(4.18)
де - деяка дійснозначна функція. Тоді Звідси маємо
Проінтеґрувавши рівність по , отримаємо:
де C - константа інтеґрування. Величина має зміст деформації ланцюжка, яка створюється квазічастинкою й існує тільки там, де . Для того, щоб задовільнити цю умову, мусимо покласти C = 0. Тоді . Повернувшись до нашої заміни, а також згадавши з (3.4), що (де c - швидкість звуку в суцільному середовищі), маємо
Тут введено позначення s = v2/c2. Позначивши і підставивши значення ux у рівняння (4.17), отримаємо остаточно:
(4.19)
Це співвідношення називають нелінійним рівнянням Шредінґера (НРШ).
Солітони як розв'язки нелінійного рівняння Шредінґера.
Для того, щоб розв'язати рівняння (4.19), оберемо такі a i g, щоб . Зокрема, вибір константи g тепер однозначний: g = a2/2. Тоді нелінійне рівняння Шредінґера набуде так званої канонічної форми:
(4.20)
Будемо шукати розв'язок у вигляді [8]:
Тут - деякі функції. Тоді, підставивши це у рівняння (4.20) , здобудемо:
Поділивши на експоненту та прирівнявши дійсну та уявну частину рівняння нулю, отримаємо систему рівнянь:
(4.21)
(4.22)
Розв'яжемо спершу рівняння (4.21), розділивши у ньому змінні:
Інтеґруючи, здобудемо (В - константа інтеґрування), звідки
(4.23)
Тут ми перепозначили B = -1/B2. Підставимо отримане значення у рівняння (4.22):
Звідси . Домноживши обидві частини на , отримаємо:
Інтеґруємо це
Loading...

 
 

Цікаве