WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаФізика → Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках - Курсова робота

Динамічні властивості нелінійних локалізованих мод у лінійних молекулярних ланцюжках - Курсова робота

підставивши граничні умови, здобудемо:
uk1+uk2 = 0,
uk1e-iklt + uk2eklt = 0;
звідси маємо uk1 = -uk2, тоді e-iklt - eklt = 0, тобто sin kl = 0.
Маємо k = m/l або l = m /2, тобто на всьому ланцюжку маємо цілу кількість напівхвиль.
З урахуванням усіх викладів отримуємо вираз для зміщення у вигляді стоячої хвилі:
un = 2uksin kxn sin t, де k = m/l
Оскільки хвильовий вектор є обмеженим, то максимальнезначення m = l/a = n - 1 при k= /a. Але насправді при m=0 i при m=n-1 всі молекули будуть мати однакове зміщення, а оскільки ми закріпили крайні молекули, то виходить, що um = 0 для всіх m. Тому маємо лише n-2 можливих коливань, якими представлено загальний рух ланцюжка.
Частина ІІ. Нелінійні моди. Поширення колективних збуджень з урахуванням взаємодії електрона з деформацією ланцюжка у довгохвильовому наближенні
Уточнення моделі поширення збуджень у молекулярному ланцюжку. Фонони і квазічастинки
Насправді, розглядаючи поширення збуджень у молекулярному ланцюжку, ми беремо до уваги не коливання окремих молекул, а увесь ланцюжок в цілому, оскільки в будь-якій його точці відбувається накладання збуджень, що надходять від усіх молекул, внаслідок чого формується певна хвиля, яка може бути періодичною й обходити ланцюжок декілька разів, або неперіодичною і руйнуватися з часом. Надалі нас цікавитимуть саме стійкі хвилі, енергія яких мало змінюється з часом, адже саме такі хвилі утворюються в реальних білкових спіралях (і не тільки) під час перенесення імпульсів чи енергії.
Не будемо глибоко вдаватися в структуру поліпептидного ланцюжка, додамо лиш до вищезапропонованої моделі молекулярного ланцюжка той факт, що амінокислоти з'єднані в єдиний ланцюжок за допомогою певних хімічних зв'язків. Розглянемо ситуацію, коли в ланцюжку є надлишковий електрон, та врахуємо його взаємодію з молекулами ланцюжка.
Згідно зі квантовомеханічними уявленнями кожен електрон з енергією E та імпульсом p має хвильові властивості, при чому частота і хвильовий вектор пов'язані із енергією та імпульсом таким чином:
E = ћ , p = ћk (4.1)
Хвилю, що переносить в ланцюжку (у загальному випадку, в будь-якому середовищі) енергію і імпульс, задані співвідношеннями (4.1), ми будемо надалі називати квазічастинкою [1]. Очевидно, що "зайвий" електрон, посаджений на певну молекулу, буде поширюватися (в якості хвилі) вздовж цього ланцюжка, деформуючи його при цьому. Коливання, що збуджуватимуться в ланцюжку внаслідок його деформації, ми будемо називати фононами. Фонони, які випромінюватимуться внаслідок зміщень молекул з положень рівноваги, ми будемо називати акустичними. У лінійному наближенні акустичні фонони відповідають коливанням, що задані рівнянням (3.1) і поводять себе так само, як звукова хвиля у суцільному середовищі [2][7].
Якщо розглядати кожну молекулу ланцюжка як єдине ціле, то, власне, цим можна і обмежитись. Але ми прив'язали нашу модель до реального поліпептидного ланцюжка, кожна пептидна група якого містить 4 атоми. Фонони, які випромінюються внаслідок внутрішньомолекулярних коливань атомів, назвемо оптичними.
Отже, при поширенні квазічастинки ланцюжок деформується, і в ньому збуджуються акустичні та оптичні фонони. Звідси загальний гамільтоніан системи складається із енергії квазічастинки, енергії акустичних та оптичних фононів і енергії взаємодії електрона з деформацією ланцюжка (т. зв. електрон-фононна взаємодія) [2][3][7]:
(4.2)
В загальному випадку (урахування як акустичних, так і оптичних фононів) задача все ще не розв'язана. Використовуючи довгохвильове наближення, О. С. Давидов показав, що поширення колективних збуджень у одновимірному молекулярному ланцюжку за певних умов супроводжується утворенням локалізованих хвиль, що рухаються без випромінювання, а, отже, мають сталу енергію. Ця гіпотеза підтвердилась і при розгляді дискретної моделі, але точного аналітичного розв'язку для диференційних рівнянь, що описують поширення коливань із урахуванням акустичних фононів, знайдено не було, а утворення локалізованих станів було показано чисельними розрахунками Скоттом [8]. Дослідження поширення таких локалізованих хвиль було здійснено пізніше в роботах [4], [5] та інших.
Енольським і Давидовим розглянуто іншу модель, в якій акустичні коливання вважаємо малими і ними нехтуємо, оптичні коливання ж є суттєвими. Показано, що в довгохвильовому наближенні автолокалізовані стани утворюються також при взаємодії з цими коливаннями [6]. Дослідження дискретної моделі та знаходження розв'язків чисельним інтеґруванням рівнянь для оптичних фононів, буде розглянуто автором роботи.
Хвильова функція квазічастинки. Операторне представлення фононів. Дисперсія акустичних і оптичних фононів.
Хвильова функція квазічастинки
Принцип Гайзенберґа стверджує, що неможливо одночасно визначити точні координати та імпульс частинки: . Цей принцип і відрізняє квантову частинку від звичайної частинки у класичному розумінні. Хвиля не може бути локалізована в точці, а тому є сенс говорити про розподіл ймовірностей знаходження частинки у тій чи іншій точці простору. Цей розподіл зазвичай описують деякою функцією (x,t) , яка здобула назву хвильової функції квазічастинки. Ця функція є комлекснозначною, і її квадрат модуля * має зміст густини ймовірності знаходження квазічастинки у певній точці простору. Якщо ми знаємо, який вигляд має хвильова функція, ми зможемо описати її рух, а, отже, наша задача буде розв'язаною.
Таким чином, окрім рівнянь для зміщень на кшалт (3.1), ми повинні мати певні рівняння для (x, t).
Із властивостей густини ймовірності випливає, що інтеґрал по всьому простору D, що займає система, від * дорівнює одиниці (тобто квазічастинку завжди можна виявити у якійсь точці простору):
Це співвідношення називається умовою нормування [1]. У випадку такої дискретної системи, як наш ланцюжок, маємо дискретну хвильову функцію n(t), де n - порядковий номер молекули. Умова нормування для неї має вигляд:
(4.3)
де N - загальна кількість молекул у ланцюжку [2][3][7].
В лінійних задачах хвильова функція задовільняє принцип суперпозиції, що дозволяє пояснювати інтерференцію і дифракцію квазічастинок. Наразі більше нам нічого про неї знати не треба.
Операторне представлення фононів. Дисперсія акустичних і оптичних фононів
Квантова механіка оперує деякими величинами Bk+ і Bk-, які називають операторами створення і знищення фонона з хвильовим вектором k. Над фізичним змістом цих операторів ми задумуватись не будемо.
Loading...

 
 

Цікаве