WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаФізика → Варіаційні принципи теоретичної механіки - Курсова робота

Варіаційні принципи теоретичної механіки - Курсова робота

рівнянь руху Лагранжа випливає рівність ?S = 0. Але і, навпаки, з умови ?S = 0 випливають рівняння Лагранжа. Так, з довільності ?q слідує, що для всіх t підінтегральна функція в (20) дорівнює нулю, тобто випливають рівняння Лагранжа.
Принцип стаціонарної дії Остроградського - Гамільтона інколи називають принципом найменшої (екстремальної) дії. З'ясуємо походження цього терміну.
2.2. Принцип екстремальної (найменшої) дії
Аналізуючи формулу (15), приходимо до висновку, що значення дії S було б для дійсного руху мінімальним, якби виконувались разом умови
?S=0 і ?2S=0 (21)
Справді, з формули (15) випливає, що при виконанні умов (21) ряд у правій частині (15) починається з другого доданку і знак ?S тоді такий самий, як і знак ?2S, тобто ?S>0 для будь-яких уявних в розумінні Остроградського рухів.
Отже, дві умови (21) достатні для існування мінімуму дії S, тоді як умова стаціонарності ?S = 0 є лише необхідною умовою мінімуму дії S.
Можна довести, що друга варіація дії за Остроградським є додатньою в тому випадку, коли величина проміжку часу руху не перевищує певної границі, окремої для кожного розглядуваного руху.
Нагадаємо, що існування мінімуму дії означає: якщо порівняти числові значення інтегралів дії S і S? - інтегралу дії для дійсного руху із значенням інтегралу дії для уявного кінематично можливого руху, то виявиться, що завжди SНерівність SЗміст принципу стаціонарної дії можна тлумачити ще й так:
дія S уявного руху (з числа допустимих) відрізняється від дії S для дійсного руху на нескінченно малу величину другого порядку, тоді як дія S? одного уявного руху відрізняється від дії для другого уявного руху на нескінченно малу першого порядку.
На закінчення зробимо кілька загальних зауважень щодо переваг принципу Остроградського-Гамільтона порівняно з рівняннями руху системи, записаними в інших формах.
По-перше, рівняння (17) можна застосувати при якому завгодно способі вибору узагальнених координат системи. Властивість дії S бути мінімальною для дійсного руху не залежить від того, в яких координатах ведуть обчислення інтеграла
По-друге, принцип Остроградського-Гамільтона виявляється справедливим і для систем з нескінченною множиною ступенів вільності.
Варіаційний принцип поширюється і на немеханічні фізичні процеси: теплові, електромагнітні і т. д.
В основу теорії електромагнітного поля можна покласти варіаційний принцип, який є узагальненням принципу Остроградського-Гамільтона, і потім можна вивести з нього як наслідок основні рівняння електродинаміки - так звані рівняння Максвелла. Це виведення рівнянь Максвелла цілком аналогічне до способу виведення рівнянь Лагранжа з принципу Остроградського-Гамільтона в механіці.
2.3. Принцип стаціонарної дії Ейлера-Лагранжа
2.3.1. Вихідні положення принципу.
Цей варіаційний принцип не має такої загальності, як принцип Остроградського-Гамільтона. Принцип Ейлера-Лагранжа відповідає рухові механічної системи з стаціонарними зв'язками в потенціальному силовому полі. За цих умов (система консервативна) існує інтеграл енергії
T+V=h. (22)
Нехай у момент часу t0 система пройшла через деяке положення А в просторі, а в інший момент t1 - через положення В. Домовимось називати момент t0 і положення А початковими, а момент t1 і положення В - кінцевими.
Дійсний рух механічної системи порівнюватимемо з уявними її рухами, які повинні задовольняти такі три умови:
1) зв'язки системи не порушуються;
2) повна механічна енергія системи в будь-якому уявному русі незмінна протягом усього часу руху і дорівнює її значенню h у дійсному русі;
3) початкове й кінцеве положення механічної системи повинні бути одні й ті самі для всіх уявних рухів і саме такі, які є для дійсного руху.
Крім того, вважатимемо, що уявні рухи починаються одночасно і саме в той момент t0, в який починається дійсний рух з положення А. Кінцевий момент часу, в який система опи-ниться в положенні В, у дійсному русі дорівнює t1, а в уявних залежить від характеру руху і може відрізнятися від t1 на малу величину ?t (додатню або від'ємну).
Дійсний рух системи з уявними порівнюють так, що розглядають лише ті уявні рухи, які нескінченно близькі (за координатами й швидкостями) до дійсного руху.
Уявні рухи механічної системи, що задовольняють всі ці вимоги, називатимемо можливими в розумінні Ейлера - Лагранжа.
Переконаємось на прикладі в тому, що моменти приходу механічної системи в кінцеве положення В справді залежать від вибору уявного руху.
Розглянемо рух однієї матеріальної точки в стаціонарному силовому полі з потенціальною функцією V(х,у,z). Оскільки уявний рух відбувається з дотриманням закону збереження енергії, то для уявного руху маємо:
звідки , (23)
де V? - значення потенціальної енергії точки в уявному русі:
V?=V(х?, у?, z?)
Формула (23) показує, що швидкість руху точки, а значить, і час переміщення її з початкового положення А в кінцеве положення В в уявному русі залежать від форми траєкторії.
2.3.2. Доведення принципу.
Нехай голономна система з стаціонарними зв'язками рухається в потенціальному силовому полі і V - потенціальна енергія. За вихідне візьмемо загальне рівняння динаміки у вигляді:
(індекс k опустимо):
(24)
де - елементарна робота активних сил на уявномупереміщенні; ?х, ?у, ?z - варіації координат точок системи. За правилом диференціювання маємо:
(25)
У розглядуваному випадку не тільки координати х,у,г, a й час t варіюються. Це видно з того, що час приходу системи в кінцеве положення в уявному русі, як з'ясовано вище, залежить від вибору траєкторії. Тому параметр t тут не можна розглядати як незалежну змінну, що не варіюється. Це означає, що рівність яка вище була доведена для випадку, коли t не варіюється, тут не справджується. Згадану рівність слід замінити новою.
Нову формулу для в розглядуваному загальному випадку легко знайти, вводячи нову незалежну змінну s, від якої, за припущенням, залежать х і t (s може бути, наприклад, дугою траєкторії точки). Оскільки властивості варіації аналогічні властивостям диференціалу, то за тими самими правилами, що й для диференціалу, знаходимо:
(26)
де штрих означає похідну по незалежній змінній s. У формулі (26) ?x ? , ?t ? можна обчислити за правилом тому що -похідні по незалежній змінній s. Тому
(27)
З формул (26) і (27) знаходимо
або, коли зробити заміну та виключити незалежну змінну s, яка вже відіграла свою допоміжну роль, дістанемо:
або
(28)
Ця формула і є узагальненням рівності (8) на випадок, коли варіюються обидві функції х і t. Аналогічно, вводячи незалежну змінну s, обчислимо варіацію інтеграла:
У правій частині підінтегральний вираз можна розглядати як складну функцію незалежної змінної s; межі інтегрування по змінній s вважаються фіксованими. За таких умов операції і f комутативні [див. (13)]:
(29)
Обчисливши варіацію добутку двох функцій і підставивши це значення в (29), отримаємо:
(30)
Ця формула є узагальненням рівності (13) на випадок, коли змінна інтегрування варіюється.
Після встановлення двох нових формул (28) і (30) для варіацій продовжимо доведення принципу Ейлера - Лагранжа. На підставі (28) рівність (25) перепишемо так:
.
Використовуючи цю і дві аналогічні рівності, знайдемо з (24):
(31)
Третій і четвертий доданки можна переписати, використовуючи
Loading...

 
 

Цікаве