WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаФізика → Метод поступового нарощення складності у розв’язку задач на знаходження моментів інерції - Реферат

Метод поступового нарощення складності у розв’язку задач на знаходження моментів інерції - Реферат

всьому кільцю, отримуємо:
(1.2.2)
Рис. 2
Б) Для розв'язання задачі у випадку коли вісь належить площині проведеній через кільце, помітимо, що з огляду симетрії момент інерції відносно цієї осі буде дорівнювати моментам інерції відносно декартових координатних осей OX і OY. Причому . Оскільки маса розподілена у площині, має місце співвідношення (17), яке для розглядаємого випадку можна записати у вигляді:
(1.2.3)
Отже, використовуючи отриманий розв'язок (1.2.2), знайдемо:
(1.2.4)
ІІ Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по площині є більш комплексною задачею, ніж для лінійного розподілу. Задача набагато спрощується, якщо скористатися вже отриманими формулами (1.1.3), (1.1.4), (1.2.2) і (1.2.4). Розглянемо низку задач, найбільш характерних для цього класу.
Приклад 2.1. Знайти моменти інерції тонкої квадратної пластинки маси зі стороною , відносно координатних осей OX, OY та OZ (Рис. 3).
Розв'язок:
З огляду симетрії моменти інерції відносно осей OX та OY однакові. Маса як і у попередній задачі розподілена у площині, отже враховуючи рівність (17) маємо:
Рис. 3
(2.1.1)
Тобто достатньо знайти момент інерції відносно будь-якої вісі, інші ж виразяться з рівняння зв'язку (2.1.1). Зручно знайти момент інерції відносно вісі OX чи OY. Виберемо, наприклад, вісь ОY.
1. Виділимо елемент пластинки у вигляді тонкого стержня нескінченно малої товщини , який знаходиться на відстані від лінії, що проходить через центр мас пластинки. Тоді момент інерції цього елементу, визначимо за теоремою Штейнера:
(2.1.2)
Тут ми скористалися отриманим розв'язком (1.1.4) для стержня. Відмінним є те, що для пластинки маса не зосереджена в стержнях нескінченно малої товщини, а рівномірно розподілена по всій поверхні цієї плоскої фігури. Тому в формулі (1.1.4) маса буде дорівнювати .
2. Згідно рівностям (9) та (11) масу можна виразити через поверхневу густину . Для цього зазначимо, що повна площа пластинки , а її елемент . Отже:
(2.1.3)
3. Значення для моменту інерції всієї пластинки отримується шляхом інтегрування рівності (2.1.2) по всій її поверхні:
(2.1.4)
Того ж самого значення набуде і . Для з рівності (2.1.1) маємо:
Приклад 2.2. Визначити моменти інерції тонкої круглої пластинки маси та радіусу відносно декартових координатних осей (Рис. 4).
Розв'язок:
Як і у попередній задачі тут працює рівняння зв'язку (2.1.1). Отже для зручності будемо знаходити момент інерції відносно осі OZ.
1. Виділимо елемент пластинки у вигляді тонкого кільця радіуса . Момент інерції цього кільця згідно (1.2.2) дорівнює:
(2.2.1)
Згідно рівностям (9) та (11) масу можна виразити через поверхневу густину . Оскільки площа вибраного кільця , маємо:
Рис. 4
(2.2.2)
Підставляючи отримане значення маси у рівність (2.2.1), й інтегруючи його по всіх можливих радіусах кілець, отримуємо:
(2.2.3)
З рівняння зв'язку (2.1.1) знаходимо:
(2.2.4)
ІІІ Перейдемо до розгляду найбільш загального класу задач на знаходження моментів інерції, - знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по об'єму.
Приклад 3.1. Визначити момент інерції кулі маси та радіусу відносно осі, що проходить через її центр.
Розв'язок:
В даному випадку зручно для початку знайти момент інерції сфери з тими ж параметрами. З огляду симетрії шуканий момент інерції буде співпадати з кожним із значень моменту інерції відносно декартових осей координат . Але сума останніх за рівнянням зв'язку (16) дорівнює подвоєному моменту інерції сфери відносно точки центра сфери, який згідно виразу (15) дорівнює:
(3.1.1)
Отже моменти інерції відносно координатних осей будуть рівні двом третім :
Рис. 5
(3.1.2)
Перейдемо до знаходження моменту інерції самої кулі.
1. Для цього виділимо її елемент у вигляді тонкостінної сфери радіуса та товщини (Рис. 5). Момент інерції цієї сфери відносно будь-якої осі, що проходить через її центр, а отже і через центр кулі, згідно (3.1.2) дорівнює:
(3.1.3)
2. Згідно рівностям (5) і (6) масу виразимо через густину кулі . Маючи на увазі, що об'єм виділеної сфери , запишемо:
(3.1.4)
3. Підставляючи отримане значення маси у рівність (3.1.3), й інтегруючи його по всіх можливих радіусах сфер, матимемо:
(3.1.5)
Приклад 3.2. Знайти моменти інерції суцільного циліндра маси , висотою та радіусом основи А) Відносно вісі ; Б) осей . (Рис. 6)
Розв'язок:
А) Виділимо елемент циліндру у вигляді нескінченно тонкого диску товщиною . Момент інерції цього диску відносно осі OZ за формулою (2.2.3) дорівнює:
Рис. 6
(3.2.1)
Інтегруючі по всьому циліндру отримуємо:
(3.2.2)
Б) Моменти інерції обраного нескінченно малого диску як і моменти інерції всього циліндру відносно осей OX та OY з огляду симетрії будуть рівні: ; . Застосуємо теорему Штейнера до диску відносно осі OX. Враховуючи формулу (2.2.4) отримуємо:
(3.2.3)
Згідно рівностям (5) і (6) виразимо масу через густину циліндру :
(3.2.4)
Підставимо отриманий вираз для елементу маси у рівність (3.2.3) для знаходження , а отже й , і проінтегруємо по всій довжині циліндра:
(3.2.5)
Помітимо, що при формула (3.2.5) переходить в формулу (1.1.3).
Якщо перемістити початок координат у центр мас, то змінюючи границі інтегрування у виразі (3.2.5) або за теоремою Штейнера отримаємо:
(3.2.6)
Відповідного значення набуде й .
?
Висновки
Визначення моментів інерції тіл є необхідною складовою розв'язку задач динаміки твердого тіла. В даній роботі був продемонстрований метод знаходження моментів інерції різних фігур методом поетапного формування складності та проблемності. Даний метод дозволяє не тільки легко розв'язувати задачі, а й сприяє засвоєнню в учнів підходу до них. Дійсно, якщо поступово переходити до кожного класу задач на розглянуту тему, можна простежити чітку схему розв'язку, наведену у вигляді рекомендованої вище послідовності. Для успішного розв'язку задач слід дотримуватися наведених опорних пунктів. Однак не треба забувати й про можливі рівняння зв'язку, які суттєво спрощують задачу.
Отже, фактично діє одна й та сама схема, яка має на увазі відомість отриманих розв'язків менш складних задач. В загальному випадку, коли, наприклад, невідомі значення моментів інерціїменш складних фігур внаслідок чи то нерівномірного розподілу маси в них, чи ще за якихось причин, задачу треба розбити на більш простіші, й вирішувати їх поступово, додержуючись наведеної схеми. Такий спосіб приведе до одержання кінцевого результату.
Дія за однією схемою в наростаючому рівні складності задач сприяє закріпленню знань з даної теми, поступово навантажує студентів. Вироблює в них чітке представлення підходу до розв'язку, сприяє комплексності мислення.
Наведений метод розв'язку задач з переходом від простого до складнішого дозволяє вирішувати й багато задач іншого роду. Такими є зокрема задачі на знаходження вектора напруженості електричного поля, вектора магнітної індукції, тощо.
Використана література:
1. Е.М. Новодворская, Э.М. Дмитриев "Методика проведения упражнений по физике во втузе" - М. "Высшая школа" 1981 г. - 318 с.
2. И.Е. Иродов "Основные законы механики" - М. "Высшая школа" 1985 г. - 248с.
3. Д.В. Сивухин "Механика" - М. "Наука" 1989 г. - 576 с.
Loading...

 
 

Цікаве