WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаФізика → Метод поступового нарощення складності у розв’язку задач на знаходження моментів інерції - Реферат

Метод поступового нарощення складності у розв’язку задач на знаходження моментів інерції - Реферат


Реферат на тему:
"Метод поступового нарощення складності у розв'язку задач на знаходження моментів інерції"
Зміст
Вступ 3
Основна частина 5
І Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по лінії 5
Приклад 1.1. Момент інерції стержня 5
Приклад 1.2. Момент інерції тонкого кільця 5
ІІ Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по площині 6
Приклад 2.1. Моменти інерції квадратної пластинки 6
Приклад 2.2. Моменти інерції круглої пластинки 7
ІІІ Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по об'єму. 7
Приклад 3.1. Момент інерції кулі маси 7
Приклад 3.2. Моменти інерції циліндра 8
Висновки 9
Використана література: 10
Вступ
В багатьох задачах динаміки не можна розглядати тіло як матеріальну точку за причини наявності обертального руху цього тіла. Розгляданням таких задач займається динаміка твердого тіла. Як відомо, рух твердого тіла описується парою динамічних рівнянь поступального та обертального руху: ІІ законом Ньютона та основним рівнянням динаміки обертального руху:
(1)
) (2)
Важливою характеристикою тіла при його поступальному русі є маса цього тіла. Якщо ж розглядати його обертальний рух, то крім маси важливу роль відіграє форма тіла та його положення відносно осі обертання. Загальною характеристикою тіла при його обертальному русі є коефіцієнт пропорційності у формулі (2) - момент інерції тіла. Розв'язок задач на динаміку твердого тіла має на увазі змогу знаходження моменту інерції цього тіла відносно тієї чи іншої вісі обертання.
Моментом інерції тіла відносно певної осі обертання за означенням є сума добутків мас матеріальних точок, з яких складається тіло, на квадрати відстаней до цієї осі:
(3)
Зазвичай тіла розглядають як систему з неперервним розподілом маси. У цьому випадку у формулі (3) треба перейти від сумування до інтегрування по всій масі тіла:
(4)
Масу можна виразити через функцію розподілу маси :
(5)
У випадку рівномірного розподілу формула (5) спрощується:
(6)
Де - маса, - об'єм всього тіла, - його об'ємна густина.
В ряді задач масу можна вважати розподіленою по поверхні чи по лінії. Тоді якщо можливо вибрати таку систему координат, щоб вздовж певних осей не відбувалося зміни маси, то об'ємну густину можна виразити відповідно через поверхневу чи лінійну за допомогою -функції. В разі обрання декартової системи координат для випадків плоского та лінійного розподілу маси дійсні такі представлення:
(7)
(8)
Підставляючи отримані вирази у формулу (5), представляючи й інтегруючи, отримаємо:
(9)
(10)
Або у випадку рівномірного розподілу:
(11)
(12)
Таким чином знаходження моменту інерції зводиться до представлення маси через щільність розподілу й інтегрування виразу (4). В деяких випадках вже відоме значення моменту інерції тіла відносно вісі, яка проходить через його центр мас. Тоді для знаходження моменту інерції відносно шуканої вісі зручно скористатися теоремою Штейнера:
(13)
Де - момент інерції відносно обраної осі; - момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас та паралельна обраній; ОС - відстань між цими осями.
Окрім поняття моменту інерції відносно вісі, існує поняття моменту інерції відносно точки. Хоча момент інерції відносно точки сам по собі не відіграє ніякої ролі в динаміці, з його допомогою часто можливо значно спростити обчислення моментів інерції відносно вісі (див. Приклад 3.1). За означенням моментом інерції тіла відносно точки є сума добутків мас матеріальних точок, з яких складається тіло, на квадрати відстаней до цієї точки:
(14)
У випадку неперервного розподілу маси в виразі (14) необхідно перейти від сумування до інтегрування:
(15)
Крім того, що сума моментів інерції тіла відносно трьох взаємно перпендикулярних осей, що перетинаються в одній точці, дорівнює його подвійному моменту інерції відносно цієї точки [3]:
(16)
У випадку плоского розподілу маси можна вибрати систему координат так, щоб . Тоді вираз (16) набуде вигляду:
(17)
В даній роботі розглянута методика розв'язку задач на знаходження моменту інерції. Отримані розв'язки можуть бути використані при знаходженні моментів інерції більш складних, нерозглянутих в цій роботі фігур. Класифікуємо задачі даної теми згідно наростанню їх складності та комплексності рішення:
I. Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по лінії.
II. Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по площині.
III. Знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по об'єму.
В загальному випадку для розв'язку задач з розглядаємої теми пропонуємо використовувати таку послідовність дій:
1. Проаналізувати фігуру, момент інерції якої треба знайти, з метою обрання нескінченно малої області цієї фігури, яка відображає її симетрію, й момент інерції якої відомий.
2. Виразити масу обраного елементу через густину розподілу.
3. Проінтегрувати момент інерції нескінченно малої області по всій фігурі для знаходження шуканого моменту інерції.
При аналізі фігури в першому пункті слід звертати увагу на можливість простішого розв'язку задачі за допомогою теореми Штейнера, чи за допомогою обчислення моменту інерції відносно точки.
Розглянемо деякі найбільш демонстративні приклади знаходження моменту інерції. Для простоти викладення будемо вважати, що маса розподілена рівномірно.
Основна частина
І Для знаходження моментів інерції тіл, маса яких розподілена по лінії скористаємося розв'язком найпростішої задачі - знаходження моменту інерції точки. Розглянемо тонкий стержень довжини та тонке кільця радіуса .
Приклад 1.1. Визначити момент інерції тонкого стержня маси та довжини відносно осі, що проходить А) через один з його кінців; Б) через центр мас.
Розв'язок:
Рис. 1
А) 1. Розглянемо елемент стержня безмежно малої довжини (Рис. 1). З огляду малості цей елемент можна розглядати як точковий з масою відповідно. За означенням момент інерції елементу , що знаходиться на відстані від осі обертання, дорівнює:
(1.1.1)
2. Для визначення маси скористаємося формулою (10) - зв'язку маси з лінійною густиною стержня . Вираз (1.1.1) набуде вигляду:
(1.1.2)
3. Оскільки маса в стержні розподілена неперервно, то момент інерції всього стержня отримується інтегруванням по всіх його точках рівності (1.1.2):
(1.1.3)
Б) Обираючи систему координат з початком відліку у центрі стержня можна повторити розсуд й отримати значення моменту інерції відносно осі, що проходить через центр мас. При цьому різниця буде лише в формулі (1.1.3): інтегрування буде відбуватися від до . Отже .
З іншого боку момент інерції можна визначити за теоремою Штейнера (13), спираючись на отримане значення моменту інерції в формулі (1.1.3):
(1.1.4)
Приклад 1.2. Визначитимомент інерції тонкого однорідного кільця маси і радіусу відносно осі: А) що проходить через центр кільця, й перпендикулярна площині, якій належить кільце; Б) лежить у цій площині.
Розв'язок:
А) Розглядаючи перший випадок перейдемо до полярної системи координат (Рис. 2). 1. Виділимо безмежно малий елемент кільця масою з координатами . Момент інерції цього елемента дорівнює:
(1.2.1)
2. У випадку лінійного розподілу можливо виразити масу через кутову густину ): .
3. Інтегруючи по
Loading...

 
 

Цікаве