WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаПедагогіка, Сценарії виховних заходів → Розв’язування трикутників - Урок

Розв’язування трикутників - Урок

Розв'язування трикутників

Мета:

- формувати вміння і навички розв'язування трикутника за трьома його основними елементами;

- повторити теореми синусів , косинусів та наслідки з них;

- повторити основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників;

- розвивати пошукову пізнавальну активність учнів, логічне мислення, уяву, зв'язне мовлення;

- виховувати самостійність, наполегливість, впевненість у собі, інтерес до предмету.

Тип уроку: урок закріплення.

Обладнання: інструктивна картка для учнів ( 1. Пам'ятка для учнів.

2. Історична довідка. 3. Умови задач рівнів А,В,С.)

Математика цікава тоді,

коли живить нашу винахідливість

і здатність міркувати.

Д. Пойа

І. Повідомлення теми і мети уроку. Мотивація навчальної діяльності.

На попередніх уроках ви розглянули теореми синусів, косинусів та наслідки з них, ввели поняття розв'язування трикутників, розглянули основні типи задач на обчислення елементів довільних трикутників.

Сьогодні перед нами стоїть задача:

  • повторити все, що вивчили;

  • пригадати те, що забули;

  • вміло застосовувати отримані знання до розв'язування геометричних задач.

Незважаючи на те, що попереду у нас велика пізнавальна робота, я сподіваюсь, що ми зможемо зберегти гарний настрій до кінця уроку, а якщо вдасться, то ще його й покращимо.

Але перш, ніж ми почнемо я прошу звернути вашу увагу на "Пам'ятку для учнів". Ознайомтесь, будь-ласка, із запропонованими вам рекомендаціями. Якщо ви будете слідувати їм, то я впевнена, що сьогодні на уроці ви обов'язково виконаєте всі завдання тільки на високому рівні.

Справжній скарб для людини – вміння трудитися.

Езоп

Пам'ятка для учнів.

  1. Будь уважним.

  2. Міркуй, шукай, порівнюй, роби висновки, працюй.

  3. Шукай нові способи розв'язування проблеми.

  4. Самостійно встановлюй зв'язки відомого з невідомим.

  5. Будь наполегливим і не бійся помилитися.

  6. Експериментуй та виправляй невдалі спроби.

  7. Будь упевнений у своїх здібностях.

Для початку зробимо не великий екскурс в історію.

Ознайомитись з історичною довідкою і дати відповіді на запитання:

  1. В якому столітті видатним астрологом ал-Беруні була доведена теорема синусів? (у XI)

  2. Коли нею почали користуватися європейські математики? (у XVI столітті)

  3. Яка теорема була доведена геометрично в "Началах" Евкліда? (теорема косинусів)

  4. Ким і коли вона була сформульована словесно? (французьким математиком Франсуа Вієтом, XVI століття)

  5. Хто і коли надав їй сучасного вигляду? (французький математик Лазар Карно, у 1801 році)

Історична довідка.

Вчені Індії, зводили розв'язування будь-яких трикутників до розв'язування прямокутних трикутників і не потребували теорему синусів і не знали її. Ця теорема була доведена лише в одинадцятому столітті видатним астрологом ал-Беруні. Теоремою синусів користувалися, починаючи з ХVI століття і європейські математики.

Теорема косинусів була доведена, звичайно, геометрично ще в "Началах" Евкліда.

Словесно теорема косинусів була вперше сформульована французьким математиком Француа Вієтом в ХVI столітті.

Сучасний вид теорема косинусів приймає в 1801 році у французького математика Лазара Карно.

ІІ. Актуалізація опорних знань.

1. Вказати назви сформульованих теорем.

Теорема 1.

Сторону трикутника пропорційні до синусів протилежних кутів ( теорема синусів).

Теорема 2.

Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними

( теорема косинусів).

Запишіть їх за допомогою формул.

( 1) = = = 2R ; 2) a2 = b2 + c2 - 2bc cos α.)

2. Замість ... вставити пропущені слова:

  1. У будь-якому трикутнику відношення сторони до ...дорівнює діаметру кола, описаного навколо цього трикутника (синуса протилежного кута).

  2. У трикутнику проти ... лежить більший кут, проти більшого кута лежить ... ( більшої сторони; більша сторона).

  3. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін "" подвоєний добуток однієї з них на проекцію другої. Знак "+" беремо тоді, коли протилежний кут ..., а знак "-", коли ...( тупий; гострий).

  4. Теорему косинусів називають іноді узагальненою теоремою ...(Піфагора).

  5. ... і ... трикутника називаються основними його елементами ( сторони; кути).

  6. Розв'язати трикутник означає: за даними ... основними елементами трикутника ... . При цьому серед заданих основних елементів хоча б один повинен бути ... (трьома; знайти три інші його основні елементи; стороною трикутника).

3. Використовуючи малюнок заповнити пропуски у таблиці:

Основні задачі на обчислення елементів довільних трикутників

№.

Тип задачі

Дано

Знайти

1.

За стороною і прилеглими до неї кутами

AB, A, B.

2.

За двома сторонами і кутом між ними

AB, A, B.

3.

AB, BC, AC

A, B, C.

4.

За двома сторонами і кутом, протилежним одній із них

AC, BC, A

За трьома кутами задача розв'язків не має !

ІІІ. Розв'язування задач.

Учні, які мають середній і достатній рівні навчальних досягнень виконують задачі рівня А і рівня B, а ті, які мають високий рівень – рівня В і рівня С.

Рівень А.

Задача 1.

Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 7 см, а кут між ними 60°. Знайдіть третю сторону трикутника.

Розв'язання.

Нехай АС=5см, АВ=7см, .

Використовуючи теорему косинусів маємо:

ВС= АВ + АС – 2 АВ ·АС cos.

ВС = 25 + 49 - 2·5·7· = 39.

ВС =.

Відповідь: .

Задача 2.

Сторона трикутника дорівнює 10 см , а прилеглі до неї кути - 45° і 75°. Знайти сторону протилежну до кута 45°.

Розв'язання.

Нехай АС=10 см,

ВС – сторона яка лежить проти кута 45°.

Використовуючи теорему синусів маємо:

= ;

=

Відповідь:

Задача 3.

Сторони трикутника дорівнюють 6 см, 9 см, 8 см. Знайти косинус кута, який лежить проти більшої сторони.

Розв'язання.

Нехай АС=6 см, СВ=8 см, АВ=9 см.

Використовуючи теорему косинусів маємо:

АВ= АС + ВС – 2АС ·ВС· cosС;

81 = 36 + 64 - 2 cos;

96 cos=19;

cos=.

Відповідь: .

Задача 4.

Сторони трикутника 6 см і 3 см, а кут протилежний до більшої з цих сторін, дорівнює 60°. Знайти синус кута, що лежить проти меншої сторони.

Розв'язання.

Нехай АС=6 см, АВ=3 см ,

Використовуючи теорему синусів маємо: = ;

sin

Відповідь:

Рівень Б.

Задача 1.

Вивести формулу для площі трикутника S = , де a, b, c – сторони трикутника, R- радіус описаного кола.

Розв'язання.

= 2R ; sinα = ; S = bc sinα = bc = .

Що і треба було довести.

Задача 2.

Довести , що бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін.

Розв'язання.

Нехай AD - бісектриса внутрішнього А. Тоді

Що і треба було довести.

Задача 3.

Довести, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

Розв'язання.

Нехай Застосувавши теорему косинусів для трикутників АВD і ACD маємо:

Додаючи почленно рівності (1) і (2) отримаємо:

Що і треба було довести.

Задача 4.

Вивести формулу Герона для площі трикутника.

Розв'язання.

Як відомо: a2 = b2 + c2 - 2bc cos α; S=

Отже:

Підставимо знайдені вирази в формулу sin2α + cosα = 1

Оскільки:

Маємо:

Що і треба було довести.

Рівень В.

Задача 1.

Доведіть, що для довільного трикутника виконується рівність

r = , де r – радіус вписаного кола, α, β, γ – кути трикутника, а – сторона , яка лежить проти кута α.

Розв'язання.

Нехай точка О – центр кола вписаного в трикутник АВС, ОК – його радіус, ОК=r. Так як центр вписаного кола це точка перетину бісектрис, то

Із трикутника ВОС:

Використовуючи теорему синусів маємо:

Із трикутника ОКС :

Що і треба було довести.

Задача 2.( теорема Стюарта)

Якщо а, в, с – сторони трикутника АВС і точка D ділить сторону ВС на відрізки , то

Розв'язання.

Нехай

Застосувавши теорему косинусів для трикутників АDС і ADВ маємо:

Помноживши (1)рівність на , а другу на і почленно додавши маємо:

Отже: .

Що і треба було довести.

IV. Домашнє завдання.

Повторити теореми синусів, косинусів та наслідки з них.

Довести теорему Птолемея.

Якщо чотирикутник вписаний в коло, то добуток діагоналей чотирикутника дорівнює сумі добутків його протилежних сторін.

V. Підсумок уроку.

1. Закінчити речення:

1. Сьогодні на уроці я повторив ...

2. Сьогодні на уроці я навчився ...

3. Необхідно додатково попрацювати над ...

4. Найважчим для мене було...

2. Порівняй свої знання на початку і в кінці уроку і дай відповіді на запитання:

  1. Чи отримав ти задоволення від власної праці?

  2. Який етап діяльності був найцікавіщим?

  3. Які загальнонавчальні вміння допомагали у складних ситуаціях?

2

Loading...

 
 

Цікаве