WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаПедагогіка, Сценарії виховних заходів → Геометричнi методи розв‘язання рівностей з двома перепінними - Реферат

Геометричнi методи розв‘язання рівностей з двома перепінними - Реферат

Реферат на тему:

Геометричнi методи розв'язання рівностей з двома перепінними

Дуже важливе значення в математиці надають питанню застосуванню аналітичних методів у геометрії і, навпаки, застосування геометричних методів при розв'язанні алгебраїчних задач. Найбільш яскраво ця проблема окреслюється при вивченні теми: "Нерівність і системи нерівностей із двома перемінними", яка, на жаль, введена в программу з математики тільки для класів з поглибленним вивченням математики.

Задача розв'язування нерівностей (систем нерівностей) з двома перемінними ставиться так: "Зобразити на координатній площині багато точок, координати яких задовольняють данiй нерівності (системі нерівностей)".

Знання геометричного змісту різних рівнянь з двома перемінними, а також уміння досліджувати взаємне розміщення точок координатної площини відносно ліній цих рівнянь дозволяє з одного боку, виконать графічну інтерпретацію розв' язання нерівності з двома перемінними, з iншого боку, дає можливість описувати різні завдання безліч точок (геметричні фігури) аналітичні за допомогою рівнянь, нерівностей, систем рівнянь і нерівностей.

Перед вивченням теми "Розв'язання нерівностей з двома перемінними" корисно з учнями (студентами) повторити геометричний зміст рівнянь з двома перемінними, які часто зустрічаються:

ах+ву+с=0- пряма;

(х-а)2+ (у-в)2= R2, (R>0)-коло

у=а(х-хо)2+в; (а0)- парабола

(х-а)(у-в)=1- гіпербола, а також перетворення графіка залежності


(х,у)=0

(х-а;у-в)=0 х; ву)=0 (|х|; у)=0 (х; |у|)=0 (у;х)=0

Як бачимо, вивчення теми представляє широкі можливості для повторення широкого спектра питань програми.

Розглянемо приклади розв'язання нерівностей і систем нерівностей з двома перемінними.

Приклад 1. Розв'язати нерівність у>х-3

Проаналізуємо за допомогою малюнка співвідношення між координатами точок, які лежать на координатній площині.

у

В

А

0 3 х

-3 С

l

Очевидно, що координати всіх точок, які лежать на прямій l, зв'язані між собою співвідношенням у=х-3. Ця пряма розбиває всю площину на дві півплощини (верхню і нижню). Щоб вияснити, як зв'язані між собою координати точок в кожній із

Рис.1

півплощин, проведемо довільну

пряму, перпендикулярно осі абсцис і виберемо на ній довільно точки, які лежать у верхній півплощині (т.В) і нижній (т.С). Із того, що

уАА-3; хАВ; уВА отримаємо уВВ-3.

Аналогічно виводимо, що уС<хА-3.

Так як точки В і С вибирались довільно, то робимо висновок, що для різних точок верхньої півплощини будуть виконувати співвідношення у>х-3, а для точок у нижній площині у<х-3. Таким способом, вирiшенням даної нерівності є безліч точок, позначених на малюнку штрихом.

у

0 3 х

-3

l

Даний в цьому прикладі аналіз можна суттєво спростувати, застосовуючи метод "контрольних точок": в одній із двох частин площини, на які розділяє лінія ; у)=0, вибираємо довільну точку. Якщо координати цієї точки задовольняють дану нерівність, то і всі точки цієї частини площини є

Рис.2

рішенням нерівності, в протилежному

разі розв'язанням буде служити багато точок тієї частини, якій "контрольна"точка не належить.

Отже, алгоритм розв'язання нерівності з двома перемінними такий:

1) заміняємо в нерівності знак нерівності на знак рівності, отримуємо при цьому рівняння з двома перемінними;

2) будуємо на координатній площині графік отриманого рівняння;

3) методом "контрольних" точок визначаємо, в якій із частин площин точки задовольняють дану нерівність;

4) заштриховуємо знайдену частину площини, при цьому враховуючи межу заштрихованої частини: якщо нерівність строга, то точки графіка рівняння не ввійдуть у безліч рішеннь нерівності, і графік рівняння потрібно позначити пунктиром, нестроге ж рівняння межа позначається суцільною лінією.

Наступний етап- розв'язання систем нерівностей з двома перемінними, які виробляються в такій послідовності розв'язують кожне із нерівностей системи окремо і зображають множини точок їх розв'язання на одній координатній площині. Розв'язанням системи буде пересікання (загальна частина) позначених множин.

Велике пізнавальне і розвиваюче значення для учнів (студентів) відіграє зворотньо поставлена задача: за даним малюнком скласти нерівність чи систему нерівностей, які задовольняють координати точок заштрихованої області.

Приклад 2. Задати нерівностям трикутника з вершинами О(0;0); А(1;0); B(1;1).

1В

А

0 1

Помітим, що множина точок, які лежать в середині DОАВ обмежена прямими у=0, х=1, у=х. Тоді, заштриховану область, можна зобразити системою:

У навчальному посібнику для учнів класів з поглибленим вивченням математики М.Я. Віленкіна, О.С. Івашева-Мусатова, С.І. Шварцбурда "Алгебра і математичний аналіз 11" досить дослівно висвітлені перераховані питання і практика показує, що учні, які володіють необхідними теоретичними відомостями і графічною культурою в цілому, непогано справляються з завданнями цієї теми.

У зв'язку з цим є корисним і цікавим для учнів розширення їх уявлення і знання за рахунок розгляду нерівностей з двома перемінними, які зводяться до розв'язання сукупностей систем нерівностей.

Приклад3. Зобразiть на координатній площині множин точок, координати яких задовольняють нерівність: 2-ху -у20

Рівносильними перетвореннями приводимо його до нерівності

(х-у)(у+2х)0, яке, в свою чергу рівносильно сукупності системам нерівностей

Зобразимо розв'язання кожної із систем на координатній площині

у

1

0 х

1

-2

Множина точок площини, які обозначені штриховкою, і є розв'язання нерівності 2-ху-у20.

Отже, якщо в лівій частині нерівності множників буде більше двох, то і число систем в сукупності значно підвищиться, а значить, розв'язання буде дуже громіздким.

Перш ніж познайомитися з іншим методом розв'язання нерівностей такого типу, досліджуємо у загальному виді нерівність.

F1; у)F2(х; у)>0 (<0)

Рівняння F1; у)=0 задає на площині деяку лінію, яка ділить всю площину на дві чи декілька частин. Множина точок кожної із цих частин визначається одним і тільки одним із нерівностей F1; у)>0 або F1; у)<0, іншими словами лінія F1; у)=0 відділяє частину площини, де F; у)>0.

Те саме можна сказати і про рівняння F2; у)=0

Отже, кожна із областей, на які розбита площина лініями F1; у)=0 і F2; у)=0, визначається однією і тільки однією із систем нерівностей:

Висловлені міркування дозволяють прийти до висновку: при переході із однієї області в іншу через межу F1; у)=0 у зв'язку зі зміною знаку на протилежний одного із F1; у) абоF2; у), добуток F1; у)F2; у)також поліняє свій знак на протилежний А через це, досить визначити знак виразу F1; у)F2; у) в одній із областей, застосувавши метод контрольних точок. Взявши точку в деякій області (зрозумiло, не лежачу на лінії F; у)=0, і визначивши знак виразу F1; у)F2; у) в даній точці, приходимо до висновку, що той же знак має вказаний вираз і в усій області, який містить контрольну точку, а при переході через межі змінює знак на протилежний.

Аналогічні висновки можна отримати і при дослідженні нерівності.

F1; у)F2; у)... Fп; у)>0 (<0)

Описаний метод областей є, дійсно, узагальненням методу інтервалів на площині.

Розглянемо застосування даного методу

Приклад4. Зобразити на координатній площині множину точок, координати яких задовольняють нерівність 0

Перетворюємо нерівність 0

Ця нерівність рівносильна системі нерівності

Розглянем геометричний зміст рівнянь у=0; у+х=0; у+х2-2=0

у=0-ось абсцис;

у+х=0 або у=-х- бісектриса ІІ; ІU координатних кутів;

у+х2-2 =0 або у=-х2+2- парабола виду у=х2, рогарудження якого направлені вниз, і зміщені вверх на 2 одиниці.

Помітимо, що у+х2-20 визначає множину точок площини, які не лежать на парабулі у=-х2+2.

Для виявлення областей знакопостійності лівої частини нерівності (*) проведемо дослідження за малюнком.

у

2 +

- -

=

+ -

0

+ - +

Лінії розбили всю площину на 9 областей. Візьмемо контрольну точку (3;3), яка належить верхній із них. Підставимо її координати в ліву частину нерівності (*), впевнимося, що в даній точці вираз

у(у+х)(у+х2-2) позитивний.

Враховуючи метод областей, розставимо, знаки виразу у(у+х)(у+х2-2) в кожній із областей.

Побудуємо графіки даних рівнянь і позначимо штриховкою безліч точок площин, які задовольняють нерівності

y

0

x

В закiнчення відзначимо, що вивчення викладеного методу рішення нерівності показало доступність розглянутого матеріалу і виявило великий інтерес школярів на самому високому, з точки зору психологів, рівні-пізнавальному.

Loading...

 
 

Цікаве