WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаПедагогіка, Сценарії виховних заходів → Використання НІТН для вивчення елементів дискретної математики - Реферат

Використання НІТН для вивчення елементів дискретної математики - Реферат

Реферат на тему:

Використання НІТН для вивчення елементів дискретної математики

При вивченні тих чи інших розділів математики і, звичайно, дискретної математики, постійно треба турбуватися про взаємозв'язок і відмінність трьох її аспектів: інтуїтивних уявлень, формального логічного змісту та застосувань. Без цього не можна по-справжньому оцінити характер математики. Тоді в процесі вивчення математики буде розвиватися інтуїція, яка сприятиме більш ефективному застосуванню формальної теорії до розв'язування практичних задач. Одним з важливих засобів навчання в цьому напрямку може стати використання НІТН. Розглянемо кілька прикладів.

При вивченні теорії ймовірностей наводяться приклади ймовірнісних просторів, які є математичними моделями стохастичних експериментів. Якщо модель хороша, то вона повинна узгоджуватися з реальними фізичними експериментами. Реальні ж досліди навіть в простих випадках здійснити непросто.

Так, після побудови ймовірнісного простору для підкидання грального кубика ми, наприклад, бажаємо перевірити чи буде частота події приблизно дорівнювати теоретичній ймовірності цієї події. Для цього потрібно багато разів підкидати кубик, наприклад, 1000 разів або більше, що, звичайно, в умовах навчального процесу нереально. Тому краще створити програму, яка б в якійсь мірі імітувала процес підкидання кубика.

Ось приклад такої програми мовою Паскаль, яку легко можуть написали і студенти, і учні.

program Cubic;

const n=50000;

type

kubik = set of 1..6;

var

X: kubik; i, k, r: longint; nyu:real;

begin

k:=0; randomize; Х:=[2, 4, 6];

for i:=1 to n do

begin

r:=1+random(6);

if r in X then k:=k+1;

end;

nyu:=k/n; writeln(nyu)

end.

Програма Cubic моделює підкидання кубика 50000 разів і знаходить частоту події: {випало парне число вічок} = {2, 4, 6}.

Запускаючи цю програму декілька разів, ми отримаємо частоти цієї події в декількох серіях експериментів. Реально ж програма виконувалась 5 разів, і були отримані такі частоти: 0.50062, 0.5026, 0.50052, 0.50068, 0.49788.

За допомогою цієї програми можна знаходити частоти кожної з 64 подій, пов'язаних з підкиданням кубика. Для цього в тексті програми досить змінити множину Х. Змінюючи сталу n ми міняємо кількість підкидань кубика.

Другий приклад, пов'язаний з історичною задачею про підкидання трьох гральних кубиків і підрахунку числа наслідків, які дають ту чи іншу суму вічок. Цю задачу пробували розв'язати ще в 13 - му столітті, нею цікавилися Кардано і Тарталья та тільки Галілей остаточно розібрався з цією задачею в 17-му столітті (детальніше про це можна прочитати в підручнику Б.В. Гнєденка, (2., 386-400).

За допомогою наступної програми можна в якійсь мірі імітувати знаходження частоти того, що сума вічок при підкиданні трьох кубиків дорівнюватиме заданому числу, або ця сума попадатиме в той чи інший числовий проміжок.

program Cub3sum;

const n=10000;

var

i, k, r1, r2, r3, r, a, b: integer;

begin

k:=0; Randomize; writeln('Введіть a, b'); read(a,b);

for i:=1 to n do

begin

r1:=1+Random(6); r2:=1+Random(6);

r3:=1+Random(6); r:=r1+r2+r3;

if ((r>=a) and (r<=b)) then k:=k+1;

end;

writeln(k/n)

end.

Так, якщо в цій програмі взяти a=11, b=11, то знайдемо частоту події {сума вічок дорівнює 11} при 10000 підкиданнях. Запускалась така програма тричі, отримались частоти: 0.1257, 0.1253, 0.1246. Теоретична ймовірність цієї події p = 27/216 = 0.125.

Якщо ж в цій програмі взяти a=12, b=12, то для частот події {сума вічок дорівнює 12} при 10000 підкидань, були отримані такі результати: 0.1129, 0.119, 0.1142; теоретична ймовірність цієї події дорівнює 25/216 = 0.1157407.

Запустимо тричі програму Cub3sum з параметрами a=9, b=12. Отримаємо такі частоти події {сума вічок при трикратному підкиданні кубика попадає в проміжок [9, 12]}: 0.4865, 0.4862, 0.4905; теоретична ймовірність цієї події дорівнює числу 25/216 + 27/216 + 27/216 + 25/216 = 0.48148.

Легко скласти програму і для моделювання знаменитої задачі Бюффона. Наприклад, моделювалося кидання голки на розліновану площину 500000 разів, 10000000 разів, тоді для числа p були отримані, відповідно, такі наближені значення: 3.14641528, 3.14477078.

Одним з ефективних засобів навчання при вивченні дискретних розподілів є використання математичних пакетів. Найбільш простими й доступними можуть бути пакети GRAN1, DERIVE. Так, наприклад, коли ми хочемо графічно зобразити розподіл випадкової величини у вигляді полігону ймовірностей, то найпростіше використати GRAN1.

Для цього у вікні "Вибір" потрібно виділити пункт "Stat", а потім діяти так, як і при обробці статистичних вибірок, при цьому ми не тільки отримаємо полігон ймовірностей, а й числові характеристики досліджуваного розподілу.

Одним з важливих прикладів застосування полігону ймовірностей можуть бути дослідження поведінки біноміальних ймовірностей при зміні параметрів. Наприклад, для знаходження найбільш ймовірного значення кількості успіхів при n випробовуваннях Бернуллі корисно побудувати декілька полігонів біноміальних ймовірностей при різних n та p. На графіках видно, що послідовність біноміальних ймовірностей спочатку зростає, а потім спадає.

За допомогою GRAN1 можна побудувати також графік функції розподілу досліджуваної випадкової величини.

Можна користуватися і пакетом DERIVE. Так, нехай розподіл задано таблицею:

Значення в.в.

x1

x2

...

xn

Ймовірності

p1

p2

...

pn

Тоді в DERIVE функція

F(x):= p1STEP(x - x1) + p2STEP(x - x2) + ... + pnSTEP(x - xn)

буде функцією розподілу досліджуваної випадкової величини і звичайним в DERIVE способом будується графік цієї функції.

Пакет DERIVE можна використати і при вивченні розділу "Різницеве числення", наприклад, для перевірки антирізниць і сум, які студенти знаходять за допомогою теореми про підсумовування. Справа в тому, що в DERIVE є можливість знаходити як визначені так і невизначені суми. Наприклад, для отримання антирізниці для функції f(x)=x^3*5^x використовується оператор Sum(x^3*5^x, x), що дає такий результат:(32x^3-120x^2+180x-115)*5^x/128. А, якщо, наприклад, потрібно знайти , то застосовуємо оператор Sum(k^3*5^k, k, 1, 7), який дає число 30606080.

При вивченні "Систем числення" комп'ютер з успіхом можна використовувати для знаходження кодів чисел в тих чи інших СЧ.

Багато інших прикладів для застосування НІТН можна знайти, наприклад, у вказаній далі літературі.

Література

  1. Волков Ю.І., Войналович Н.М. Елементи дискретної математики: Навчальний посібник. – Кіровоград: РВГ ІЦ КДПУ ім. В. Винниченка, 2000.

  2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей.-М.: Наука, 1988.

  3. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основы информатики.-М.: Мир, 1998.

  4. Жалдак М.І. Комп'ютер на уроках математики: Посібник для вчителів. – К.: Техніка, 1997.

  5. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ.– М.: Мир, 1977. – Т.2.

Loading...

 
 

Цікаве