WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаПедагогіка, Сценарії виховних заходів → Знайомство з методами оцінки похибок непрямих вимірювань і чисельний експеримент - Реферат

Знайомство з методами оцінки похибок непрямих вимірювань і чисельний експеримент - Реферат

Дійсно, якщо , де — однаково розподілені випадкові величини, то і .

Якщо ж і визначаються за порівняно невеликою вибіркою (), то досить імовірною буде ситуація, коли , не дивлячись на те, що . Під і ми маємо на увазі величини, що були б отримані під час експериментальної перевірки прогнозу. Іншими словами, сама величина Y може бути виключно точною (з малою відносною дисперсією), але ми не зможемо дуже точно спрогнозувати її значення, якщо будемо користуватися порівняно малою вибіркою величини X (). У "статистичному підході", який ми розглядали, величина n на відповідь майже не впливає, бо і досить швидко перестають помітно залежати від n. Тут треба згадати ще про одну відому статистичну величину, яка стане нам у нагоді, а саме про середню квадратичну похибку середнього значення (4, 84):

.

Якщо ми розглядаємо випадок прогнозу для великих N (), то нам важливо слідкувати саме за середнім значенням X і, відповідно, середньою квадратичною похибкою середнього значення. Відхил середнього значення , знайденого на вибірці обсягу n, стає "систематичною похибкою" при прогнозуванні величини Y. Тому ми не можемо спрогнозувати значення Y з відносною похибкою меншою, ніж знаємо середнє значення X. Таким чином для отримуємо межі для Y:

.

Тут треба зробити деякі зауваження. Величина Y розподілена за законом, близьким до нормального (це твердження випливає з центральної граничної теореми теорії імовірностей і може бути на емпіричному рівні перевірене за допомогою нескладної комп'ютерної програми). Вказані межі для Y відповідають надійній імовірності, що дорівнює приблизно 0,68. Якщо потрібно вийти на 95-відсотковий рівень надійної імовірності, то межі треба розсунути вдвічі (вдвічі збільшиться надійний інтервал). Підкреслимо ще раз, що ми розглянули випадок . Це означає, що стандартний відхил для величини Y від її середнього значення малий порівняно з надійним інтервалом, який ми вказуємо для середнього значення Y, маючи обмежену експериментальну вибірку для величини X. За отриманою нами формулою можна оцінити необхідну кількість вимірювань n величин Xj, щоб досягти необхідної точності прогнозу для суми . Якщо нас буде задовольняти відносна похибка e, то , де і знаходять з невеличкої вибірки.

Аналіз другого класу задач

Після ретельного аналізу першого класу задач стає досить прозорим і підхід до другого класу (власне методу рядів). Якщо експериментально знайдені величини і , що характеризують велику сукупність однорідних об'єктів, то для величини X можна зробити оцінки для математичного сподівання mX і стандартного відхилу sX:

; .

Відносна похибка для X при цьому буде в разів більша, ніж для Y. Але треба розуміти, що це фактично не похибка вимірювання, а характеристика розподілу випадкової величини (у нашому прикладі ми вважали, що кульки трохи розрізняються за масами). Що ж стосується виду розподілу, то тут нічого втішного сказати не можна. Бо практично будь-який розподіл для величини X приведе (при достатньо великих N) до нормального закону для Y. В оберненій задачі ми можемо лише оцінити середнє значення і стандартний відхил. Причому про імовірність попадання окремих значень величини X в інтервал можна робити висновок досить грубо. Так, наприклад, якщо величина X розподілена рівномірно на відрізку, то ця імовірність буде становити 0,58, а не 0,68, як у нормальному розподілі.

Чисельний експеримент

Створені нами ППЗ (педагогічні програмні засоби) дозволяють чисельно моделювати випадкові процеси вимірювань та представляти результати у графічній формі, а також зберігати всі одержані результати у вигляді текстового файлу.

Працюючи з першою програмою ("Інтервали"), користувач повинен зазначити обсяг n вибірки та число N. Програма генерує n випадкових чисел xi, рівномірно розподілених на інтервалі [0; 1], та обчислює значення і . Ці операції повторюються кілька разів (кількість задається користувачем), і за їх результатами на екрані зображуються інтервали

, , ,

які відповідають трьом розглянутим у роботі підходам до оцінки меж, у яких буде знаходитись величина .

Для експериментальної перевірки правильності цих оцінок генерується кілька значень (їх кількість також задається користувачем) величини Y. На екрані будуються вертикальні лінії, положення яких відповідають одержаним значенням Y. Характерний вигляд екрану (результати роботи програми при , ) зображено на рис. 1.

З рисунку добре видно, що "найкращим" з інтервалів для Y є другий, що узгоджується з висновками, отриманими вище теоретично. Але при роботі з програмою "Інтервали" користувач може впевнитися в цьому на власному досвіді, повторюючи чисельні експерименти з різними вхідними даними.

За результатами роботи програми можна самостійно обчислювати ймовірності (а точніше, емпіричні частоти) таких подій, як попадання Y до побудованих інтервалів, попадання Y до інтервалу (a задається користувачем) тощо. Оскільки найбільш цікавою є частота попадання Y до другого інтервалу, то її обчислення автоматизоване у другій програмі — "Частота".

Програма "Частота" генерує і як у програмі "Інтервали" і визначає, чи містить інтервал математичне сподівання . Виконавши k таких випробувань, програма обчислює частоту f як відношення кількості інтервалів, що містять mX, до k. Користувач задає число n, а також межі і крок зміни k. За цими даними програма будує графік залежності , на якому позначено рівень (асимптотичне значення f для нормального розподілу).

Працюючи з програмою "Частота", користувач має змогу встановити емпіричним шляхом значення n і k, при яких частота f стає достатньо близькою до fac.

Література

  1. Загальна фізика: Лабораторний практикум: Навч. посібник/ В.В.Барановський, П.В.Бережний, І.Т.Горбачук та ін.; За заг. ред. І.Т.Горбачука. — К.: Вища шк., 1992. — 509 с.

  2. Осипов О.Ю. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. посібник для студентів фізичних спеціальностей вищих закладів освіти. — Запоріжжя: Видавництво Запорізького держ. ун-ту, 1999. — 192 с.

  3. Руководство к лабораторным занятиям по физике/ Под ред. Л.Л.Гольдина. — М.: Наука, 1973. — 688 с.

  4. Фетисов В.А. Оценка точности измерений в курсе физики средней школы: Кн. для учителя. — М.: Просвещение, 1991. — 96 с.

Loading...

 
 

Цікаве