WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаПедагогіка, Сценарії виховних заходів → Знайомство з методами оцінки похибок непрямих вимірювань і чисельний експеримент - Реферат

Знайомство з методами оцінки похибок непрямих вимірювань і чисельний експеримент - Реферат

Реферат на тему:

Знайомство з методами оцінки похибок непрямих вимірювань і чисельний експеримент

Вступ

Оцінка похибок вимірювань, особливо непрямих, є досить складною процедурою, яка не може мати єдиного чіткого алгоритму, що спрацьовує у будь-якій ситуації. З іншого боку, стиль викладення відповідного матеріалу в навчальній літературі має нахил до алгоритмізації. Суперечливість ситуації полягає у тому, що такий нахил виправдовують саме складністю питання: мовляв, зрозуміти це без спеціальних знань з теорії імовірностей і математичної статистики практично неможливо, хай навчаться хоча б користуватися алгоритмом.

Вихід з такого стану справ ми пропонуємо шукати на шляху ретельної розробки окремих типових ситуацій оцінки похибок вимірювань. При цьому особлива увага повинна бути приділена доступності для розуміння тієї інформації, що надається учням стосовно методів обробки експериментальних результатів.

У сучасних умовах завдяки поширенню комп'ютерної техніки можна допомогти необхідному формуванню емпіричного рівня знань, що стосуються статистичних законів. Досить нескладні навчальні програми дозволять їх користувачам здобути досвід, необхідний для більш глибокого розуміння методів оцінки випадкових похибок.

У нашій роботі ми розглянемо два пов'язаних між собою класи задач, коли за результатами безпосереднього вимірювання характеристик порівняно невеликої групи окремих однотипних об'єктів треба зробити висновок стосовно величин, що характеризують їх велику сукупність, або навпаки. Наведемо конкретні приклади.

1. Маса однієї кульки г. Яка маса 10000 таких кульок?

2. Маса 100 кульок г. Яка маса однієї?

Подібні задачі досить часто зустрічаються, коли у нас немає зручних і достатньо точних засобів вимірювання у потрібному діапазоні величин, але є в іншому. У школі навіть вивчають так званий метод рядів. Його застосовують, наприклад, для визначення діаметра тонкого дроту або маленької кульки (якщо мають багато однакових кульок). Але як оцінювати похибки для вказаних класів непрямих вимірювань?

Уточнення постановки задачі: важливість додаткової інформації

Перше, на що треба звернути увагу — це той факт, що розв'язок таких класів задач, як сформульовані вище, суттєво залежить від додаткової інформації про те, яким чином були отримані результати безпосередніх вимірювань. Що саме значать числа, наприклад, у записі г?

У цій роботі ми розглянемо той крайній випадок, коли розбіжності в окремих вимірюваннях пов'язані виключно з природою самих об'єктів (у нашому прикладі кульки трохи відрізняються за масою). Вимірювану величину одного об'єкту (яка є випадковою) позначимо через X, а відповідну величину, що характеризує велику сукупність із N однорідних об'єктів, через Y. Зручно вважати, що ми замість випадкової величини X маємо N однаково розподілених величин , тоді можна записати, що . Домовимося також, що запис типу г в умові задачі для величини X з'являється за наступним алгоритмом. Безпосереднім вимірюванням потрібної величини X у порівняно невеликої кількості окремих об'єктів виключно точним приладом отримуємо ряд чисел x1, x2, ..., xn. Після цього обчислюється середнє арифметичне значення і вибіркова (або емпірична) середня квадратична похибка за формулами

, .

Як відомо, ці величини є найкращими емпіричними оцінками для математичного сподівання m і стандартного відхилу s величини X (2, 152). Остаточний результат вимірювань і обчислень записується у вигляді .

Будемо вважати, що в задачах першого класу нам відомі величини , , а також обсяг вибірки n, на якій вони були отримані.

Треба зробити прогноз стосовно відповідної величини Y, що характеризує досить велику сукупність об'єктів відомого обсягу N. Який саме прогноз можна буде зробити, з'ясуємо у ході дослідження.

Що ж стосується оберненої задачі (або другого класу, чи, власне, методу рядів) будемо вважати відомими , та обсяг вибірки , на якій вони отримані за аналогічними формулами, що і та у першій задачі. Треба зробити висновок стосовно випадкової величини X, що характеризує окремий об'єкт.

Аналіз першого класу задач

Оцінка параметрів великої сукупності однорідних об'єктів за результатами вимірювання характеристик невеликої кількості окремих її представників не розглядається в явному вигляді в посібниках, орієнованих на обробку результатів лабораторних робіт. З іншого боку, актуальність подібних задач очевидна.

Як правило, розглядають таку споріднену задачу. Є величини і . Знайти величину (записати її у вигляді ).

Відносно середнього значення c думка одностайна: . Що ж до Dc, зустрічаються принаймні дві відповіді (1, 26; 4, 93):

і .

Перша відповідь пов'язується з методом меж, який вивчається у 8 класі за програмою з алгебри. А про другу кажуть, що вона є наслідком теорії ймовірностей і математичної статистики.

Дійсно, вона нагадує теорему про дисперсію суми незалежних величин (2, 121). Іноді подібні формули пишуть для суми будь-якої кількості величин (3, 20). Зрозуміло, що для суми N однаково розподілених величин X, яка позначена через Y, ми повинні отримати такі узагальнення:

і .

Чим більше N, тим більше різниця між цими формулами. Яку вибрати?

Другий результат здається більш прийнятним. Дійсно, відхили від середнього значення величини Xj при обчисленні суми Y повинні хоча б частково компенсуватися, що приведе до меншої відносної похибки величини Y порівняно з X (а у методі меж відносна похибка зберігається).

Але не все так просто: другий ("статистичний") варіант виявляється помилковим. Продемонструємо це на конкретному прикладі. Нехай існують два експериментатори, які, вимірюючи випадкову величину (масу однієї кульки), отримали результати:

г і г.

Кожен з них указав, як і домовлялися, середнє арифметичне значення та емпіричну середню квадратичну похибку. На перший погляд, результати їхніх вимірювань досить точно співпадають. Чи однаковий буде у них прогноз щодо маси 104 таких кульок, якщо вони будуть користуватися "статистичним підходом", а не методом меж?

Це неважко підрахувати:

кг і кг.

Як бачимо, "статистичний підхід" привів їх до того, що вказані ними інтервали перестали перекриватися. Якби наші експериментатори користувалися знайомим зі школи методом меж, такого не вийшло б. Щоправда, й оцінена похибка була б дуже великою, адже метод меж не враховує часткову компенсацію відхилів різного знаку від середнього значення при додаванні великої кількості однаково розподілених випадкових величин.

Тут ми зіткнулися з тим, що формули, справедливі для теоретичних величин — математичного сподівання і стандартного відхилу — приводять до грубих помилок, якщо в них підставляти їхні, навіть кращі з можливих, оцінки — середнє арифметичне значення і емпіричну середню квадратичну похибку .

Loading...

 
 

Цікаве