WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаПедагогіка, Сценарії виховних заходів → Програмування навчальної діяльності студентів у процесі вивчення елементів квантової механіки - Реферат

Програмування навчальної діяльності студентів у процесі вивчення елементів квантової механіки - Реферат

густину ймовірності для цих точок. Розв'язок поясніть графічно.
Розв'язок
1. Запишіть хвильові функції, що описують стан електрона на першому та другому енергетичних рівнях відповідно.
2. Далі запишіть вираз для густини ймовірності знаходження електрона на відповідних рівнях енергії.
3. Прирівнюючи
і
та застосувавши формулу ,
визначте два найпростіші тригонометричні рівняння щодо x.
4. Розв'яжіть отримані рівняння та визначте координати двох точок, в яких густини ймовірності збігаються.
5. Підставте значення однієї зі знайдених точок у вираз для
,
щоб визначити значен-ня шуканої густини ймовірності.
6. Побудуйте схематично графіки залежності
, скориставшись результатами завдання 1.4.
Завдання 1.8. При якій ширині одновимірної потенційної ями різниця E2-E1 рівнів енергетичного спектра електрона дорівнює середній кінетичній енергії теплового руху атомів ідеального газу при кімнатній температурі?
Розв'язок
Енергія мікрочастинки на n-ому рівні одновимірної потенційної ями визначається виразом:
де:
- постійна Дірака,
m - маса мікрочастинки,
L- ширина потенційної ями,
n - головне квантове число стану.
1. Через те, що необхідно визначити ширину потенційної ями, використовуючи різні рівні E2 і E1, запишіть вираз для енергії рівнів E1 і Е2.
2. Визначте різницю цих рівнів, прирівнявши її до середньої кінетичної енергії одноатомного газу 3/2КГ .
3. З отриманого виразу визначте шукану ширину потенційної ями.
Завдання 1.9. Електрон знаходиться в одновимірній потенційній ямі шириною = 10-8см. Визначте довжину хвилі випромінювання, що випускається при переході зі стану 3 в стан з n = 2.
Розв'язок
1. Використовуючи вираз для енергії енергетичного рівня, наведений в розв'язку завдання 1.8, запишіть вираз для енергії рівнів з n = 2 і з n = 3 відповідно.
2. Далі розв'язок завдання виконайте двома способами:
" Запишіть вираз для різниці рівнів енергії, прирівнявши його до енергії кванта, що випускається. Із останнього виразу знайдіть і розрахуйте шукану довжину хвилі.
" Розрахуйте різницю енергій двох рівнів. Визначте цю енергію спочатку в еВ, поділивши
отримане число на
, а потім в см-1, використовуючи перевідний коефіцієнт
1еВ = 8066 см-1, знайдіть хвильове число і довжину хвилі.
Примітка: порівняйте культуру розрахунку в кожному з наведених способів.
Завдання 1.10. Вважаючи, що нуклони в ядрі знаходяться в тривимірній потенційній ямі кубічної форми з лінійними розмірами L= 10фм, оцінити нижчий енергетичний рівень нуклонів у ядрі. Масу нуклона вважати рівною 1,67·10-27 кг.
Розв'язок
Енергія мікрочастинки в тривимірній потенційній ямі дорівнює сумі: Ex, Ey, Ez:
E = Ex + Ey + Ez,
де:
отримане число на
значення енергії мікрочастинки в
одномірних потенційних ямах,
1. Враховуючи, що в умові завдання пропонується розглянути нижчий енергетичний рівень, а яма володіє симетрією куба із стороною a =L , розрахуйте значення енергії мікрочастинки, вважаючи що: nx = ny = nz = 1 i a = b = c =L = 10 фм.
2. Атом водню
Приклад 2.1. Рівняння Шреденгера у сферичній системі координат для електрона, що знаходиться у воднеподібному атомі, має вигляд:
(2.1)
Показати, що рівняння поділяється на два, якщо хвильову функцію представляти у вигляді добутку двох функцій: .
Розв'язок
Підставимо у рівняння (2.1) замість Ш добуток R*Y, де Y = Y(0;ф)
Враховуючи, що частинні похідні беруться відповідно або по r, або по, отримуємо рівняння:
(2.2)
Домножимо обидві частини рівняння (2.2) на r2/R*Y ; після скорочення отримаємо:
(2.3)
Запишемо це рівняння у вигляді, який допускає розділ змінних. Для цього в лівій частині рівняння запишемо члени, що містять r, а в правій - члени, що містять и, ц:
(2.4)
Це рівняння має розв'язок, якщо обидві його частини дорівнюють одній константі л:
(2.5)
Приклад 2.2. Атом водню знаходиться в основному стані. Власна хвильова функція, що описує стан електрона в атомі, має вигляд:
де c - постійна.
Знайти: а) коефіцієнт нормування;
б) відстань, на якій імовірність знаходження електрона максимальна.
Розв'язок
Згідно з умовою нормування для радіальної хвильової функції:
де dv = 4рr2dr - елемент об'єму.
Тоді в рівності (2.5) маємо для коефіцієнта нормування:
Для розрахунку інтеграла, що знаходиться під знаком радикала, скористаємося табличним інтегралом:
Тоді інтеграл
дорівнює:
де b = 2/a.
Відповідно:
Таким чином, коефіцієнт нормування дорівнює:
Найбільш імовірне значення відстані електрона від ядра отримаємо, якщо знайдемо максимум функції:
,
де
Т.б.:
Для визначення відстані, на якій імовірність буде максимальною, знайдемо похідну:
Ймовірність буде мати максимальне значення в точці, в якій похідна дорівнює нулю:
Відповідно,
Тоді відстань, на якій імовірність знайти електрон в атомі водню максимальна, дорівнює борівському радіусу: r = a.
Приклад 2.3. Атом водню знаходиться в стані 1s. Визначити ймовірність W перебування електрона в атомі всередині сфери радіусом r = 0,1a.
Розв'язок
Для розрахунку ймовірності виявити електрон в об'ємі dv скористаємося виразом:
де:
- хвильова функція електрона в стані 1s,
dv = 4рr2dr - елемент об'єму.
Тоді,
Введемо безрозмірну величину p = r/a, тоді r2 = р2a2,
dr = adс, 0<с<0,1
Імовірність визначається інтегралом:
Для розрахунку інтеграла W скористаємося табличним інтегралом:
Тоді:
Завдання для самостійної роботи
Завдання 2.1. Рівняння для кутової функції Y(и,ц) у сферичній системі координат може бути записане у вигляді:
Показати, що в цьому рівнянні можливо виконати розділення змінних, якщокутову функцію представити у вигляді добутку двох функцій: ,
де: И(и) - функція, яка залежить тільки від кута и;
Ц(ц) - функція, яка залежить тільки від кута ц.
Розв'язок
1. Підставте функцію Y = И·Ц у рівняння. Враховуючи, що диференціювання проводиться по одній із змінних, іншу частину хвильової функції Y винесіть за знак похідної як постійну.
2. Розкрийте дужки, виконавши скорочення: в першому доданку И, а в другому Ф.
3. Домножте обидві частини рівняння на sin2и:
4. Перегрупуйте члени рівняння таким чином, щоб у лівій частині знаходились доданки, що залежать тільки від и, а в правій - тільки від ц.
5. Прирівняйте кожну з частин отриманого рівняння до постійної 8 , виконавши тим самим розділення змінних.
Завдання 2.2. Електрон в атомі водню описується в основному стані хвильовою функцією
де
Визначити відношення ймовірності перебування електрона у сферичних шарах товщиною rr = 0,01a і радіусами r1 = 0,5a і r2 = 1,5a.
Розв'язок
Для розрахунку ймовірностей W1 і W2 необхідно розрахувати значення інтегралів:
1. Підставте в ці вирази замість ш(r) вираз :
2. Виконайте заміну змінних: p = r/a; r2 = р2a2; dr = adс.
3. Для розрахунку кожного з інтегралів W1 і W2 використайте табличний інтеграл:
4. Визначте відношення розрахованих значень імовірностей W1/W2 .
Завдання 2.3. Хвильова функція, що описує 2s-стан електрона в атомі водню, має вигляд:
, де p = r/a .
Визначити:
а) відстань від ядра, на якій імовірність виявити електрон має максимум;
б) відстань від ядра, на якій імовірність знайти електрон дорівнює нулю.
Розв'язок
1.Запишіть вираз для
2. Знайдіть похідну цого виразу.
3. Для визначення екстремальних точок прирівняйте похідну до нуля.
4. Розрахуйте значення, при яких імовірність має максимум.
5. Прирівняйте до нуля
та визначте с, при яких
= 0.
3. Спектри молекул
Приклад 3.1. Власна циклічна частота молекули HCL дорівнює щ = 5,63·1014с-1, коефіцієнт ангармонічності г = 0,0201.
Визначити:

 
 

Цікаве

Загрузка...