WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаРізне → Моделювання біомедичних багатопараметричних систем методами багатовимірної геометрії (автореферат) - Реферат

Моделювання біомедичних багатопараметричних систем методами багатовимірної геометрії (автореферат) - Реферат

Замінивши у (10) коефіцієнти Аі їхніми функціональними залежностями (13), маємо залежність трьох змінних: х1, х2 і х4:

х1 = f((Сі, х2), x4), (14)

або скорочено: х1 = f(x2, x4). (14a)

Таким чином, маємо систему двох рівнянь (12) і (14), які у своїй сукупності дають повну залежність між всіма чотирма змінними:

x1 = f((Bi, x3), x4);

х1 = f((Сі, х2), x4), (15)

або скорочено: x1 = f(x3, x4);

x1 = f(x2, x4). (15a)

Зрозуміло, що цю ж саму залежність, тобто аналогічний вираз 2-вимірного багатовиду Б2, одержимо, якщо перейдемо до розгляду системи рівнянь:

(16)

Залежність (16) геометрично трактується як одержане аналітичне вираження спільної лінії перетину двох проекціюючих гіперциліндрів, напрямними яких є рівняння системи (16), а твірними – прямі лінії, паралельні координатній осі, відсутньої у рівнянні напрямної.

Крива лінія як 1-вимірний багатовид 4-вимірного простору. На рис. 18 зображено таку криву наочно відносно прямокутної декартової системи координат Ох1х2х3х4. На модифікованому епюрі Радіщева є можливість зобразити чотири такі проекції, відповідно, на координатні площини Ох1х2; Ох1х4; Ох23 та Ох3х4.

Для переходу від графічного вираження кривої до аналітичного потрібно записати рівняння яких-небудь трьох проекцій кривої у своїх координатних площинах і розглянути їх сумісно. Тоді матимемо аналітичний вираз кривої 4-вимірного простору, що задається системою із трьох рівнянь, наприклад:

(17); (18); (19)

Геометрично ці системи рівнянь (17) можна трактувати як взаємний перетин трьох проекціюючих гіперциліндрів 4-вимірного простору, що у перетині утворюють спільну просторову криву. Напрямними циліндрів при цьому являються криві з рівняннями, що входять у системи наведених рівнянь, а твірними – 2-вимірні площини, паралельні координатним площинам з вимірами, відсутніми у рівняннях напрямних.

Рис. 19

Гіперповерхні n-вимірного простору.Гіперповерхні n-вимірного простору в прикладній багатовимірній геометрії використовуються як геометричні моделі залежностей між n змінними, в яких одна є функцією решти n-1 змінних.

Графічні задавання гіперповерхні n-вимірного простору. На рис. 19 схематично зображено послідовність виділення каркасів гіперповерхні у вигляді підбагатовидів різної розмірності від (n-2)-вимірних до 1-вимірних ліній. Приймаючи по mi-перерізі на кожному етапі зниження розмірності багатовидів до одновимірних кривих ліній одержимо кількість плоских перерізів, що визначається виразом:

(20)

тобто добутком всіх mi.

Аналітичні вираження гіперповерхніn-вимірного простору. Плоскі криві каркасу записуємо, наприклад, у вигляді полінома:

, (21)

Задана системою рівнянь (21) і-крива виражає залежність змінної х1 від хn для фіксованих значень решти змінних, заданих, відповідно, на рівнях: .

Знаходимо функціональні залежності коефіцієнтів Аі від змінної х2.

Виражаємо цю змінну коефіцієнтів Аі, наприклад, теж у вигляді полінома: Аі =  (Ві, х2) (22)

Виражаючи залежності всіх коефіцієнтів системи рівнянь (21) від параметра х2 (тобто знаходячи зміну коефіцієнтів за індексом ln-2) аналогічно коефіцієнту Аі підставляємо їх у перше рівняння системи (21) замість відповідних коефіцієнтів. Тоді одержимо рівнянь:

(23)

В кінці кінців, знаходимо одне розгорнуте рівняння гіперповерхні, що зв'язує всі n-змінні у вигляді: x1 = F(a1, x1,..., xn-1), (24)

де a1 – коефіцієнти рівняння.

К-вимірний багатовидn-вимірного простору. Графічне зображення k-багатовиду. На кожному етапі розмірність підбагатовиду понижується на одиницю, для отримання q-розмірного перерізу необхідно виконати:

k – q (25)

послідовних етапів пониження розмірності (k-q послідовних перерізів). А q-розмірність перерізу, при якому буде знаходитися в просторі розмірності:

n – k + q (26)

Для отримання 1-вимірних перерізів (ліній чи поверхонь B1 згідно (25) потрібно k-1 етапів пониження розмірності, а згідно (26) кожна із ліній-перерізу буде знаходитися в n – k + 1-підпросторі.

Таким чином, поверхню Bk (1 < k < n-1) будемо задавати каркасом q-розмірних перерізів, кількість яких рівна: mk-q , (27)

де m - прийняте число етапів перерізів на кожному етапі зниження розмірності. Якщо прийняти кількість етапів перерізів у кожному етапі пониження розмірності різними, наприклад, m1, m2, ..., mk-q , то, очевидно, k-багатовид буде визначатися в цьому випадку:

m1 m2 ... mk-q (28)

q-розмірними перерізами n + q – k –розмірними підпросторами рівня.

Графічне та аналітичне задання просторової кривої n-вимірного простору. Аналітично n-просторова крива визначається як геометричне місце точок, що належить одночасно проекціюючим гіперциліндрам, число яких рівне числу плоских проекцій кривої, що її визначають. Рівняннями цих гіперциліндрів у n-просторі є рівняння проекцій кривої на відповідних площинах проекції. Таким чином, крива аналітично виражається системою рівнянь цих гіперциліндрів, що лежать на них.

У п'ятому розділі приводяться приклади впровадження методів багатопараметричних систем геометрії для розв'язання задачі у біомедицині.

Геометричне моделювання взаємної залежності порогового контрасту, кута зору, числа градацій, яскравості та просторової частоти сигналу образу об'єкта в біомедицині. Розглянута залежність між всіма сімома змінними одночасно у фазовому просторі цих змінних. Ця залежність виражається геометричною моделлю у вигляді гіперповерхні 7-вимірного простору.

Отримані криві доцільно апроксимувати саме кривими 2-го порядку, вираженими явно відносно однієї із змінних:

(29)

Порівнюючи рівняння (29), у яких коефіцієнти міняються в залежності від змінної , знайдемо їх функціональні залежності, наприклад, у тому ж вигляді, що й (29):

(30)

..................................................................

Підставивши вирази (30) у рівняння (29), одержуємо рівняння 2-вимірних підбагатовидів Вs2 у загальній їх кількості abcd. Одержані рівняння є функціональними залежностями, що зв'язують вже три змінні: Mt, L i :

(31)

Продовжуючи, таким чином, процес послідовного введення у рівняння наступних змінних, в результаті одержуємо одне розгорнуте рівняння гіперповерхні, що зв'язує всі 7 змінних у вигляді:

Mt = f(Ai, L, , m, K, , S) , (32)

де Аі — коефіцієнти рівняння, і = 1,..., 15625 (при апроксимації кривими 2-го порядку).

Одержана одночасна залежність між всіма змінними дає можливість не тільки легко знаходити часткові залежності між змінними, але й обчислювати оптимальні значення для змінних, у тому числі й за багатьма критеріями оптимізації одночасно, а можливість її графічного представлення (на кресленні чи екрані монітора) дозволяє наочно оцінювати одночасну взаємну залежність між всіма змінними досліджуваної системи.

Геометричне моделювання стану пацієнта за діагностичними даними. Структурна схема процесу вимірювання і класифікація біологічних сигналів (постановка діагнозу) приведена на рис. 20.

Рис. 20.

Біологічні сигнали від організму людини несуть інформацію про норму або патологію у діяльності організму.

Застосування ЕОМ у медицині дозволяє класифікувати стан здоров'я на базі багатьох критеріїв одночасно. Але для цього потрібно мати попередньо побудовану геометричну модель залежності у вигляді відповідного багатовиду.

Для цього параметри біосигналів переводяться у чисельні електричні, використовуючи існуючі медичні прилади і пристрої, що дозволяє перейти до загальної залежності між змінними у вигляді:

F(xi, Aj) = 0, i = 1,..., n; j = 1,... m, (33)

де xi– кількісні значення змінних параметрів, одержаних замірами приладів (координати); Aj – коефіцієнти рівнянь.

Цифрове розкриття залежності (33) знайдемо, підставляючи змінні xi, одержані за діагностичними даними приладів.

Тепер одержану залежність (33) потрібно співставити з аналогічною залежністю між тими ж змінними, одержаними до появи у пацієнта патологічних змін (з еталонною моделлю):

Loading...

 
 

Цікаве