WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаРізне → Моделювання біомедичних багатопараметричних систем методами багатовимірної геометрії (автореферат) - Реферат

Моделювання біомедичних багатопараметричних систем методами багатовимірної геометрії (автореферат) - Реферат

Рис. 8 Рис. 9

Тривимірність як і 3-параметричність сфери підтверджується і визначенням положення точки на сфері у сферичних координатах, які виражаються через декартові за формулами:

x1 = R cos 1 cos 2 cos 3 ;

х2 = R cos 1 cos 2 sin3 ; (2)

х3 = R cos 1 sin2 ;

х4 = R sin 1 ,

де: R – радіус сфери; 1 - кут між радіусом-вектором ОА і ортогональною проекцією ОА1 радіуса-вектора на координатний підпростір Ох1х2х3 ; 2 - кут між ОА1 і ортогональною проекцією ОА2 відрізка ОА1 на координатну площину Ох1х2; 3 - кут між ОА2 і віссю Ох1.

Обертання точки у n-вимірному просторі навколо (n-2)-вимірного "осьового" підпростору.Узагальнимо тепер викладені положення на n-вимірний простір (рис. 9). Траєкторією точки є (n-1)-вимірна гіперсфера n-вимірного простору. Розмірність гіперсфери, як і її (n-1)-параметричність, чітко проглядається у визначенні розташування точки на гіперсфері у сферичних координатах, що зв'язані з декартовими координатами за формулами:

x1 = R cos 1 cos 2 ... cos  n-1 ;

х2 = R sin 1 cos 2 ... cos n-1 ; (3)

х3 = R sin 2 cos 3 ... cos n-1;

............................................

х n-1 = R sin  n-2 cos n-1 ;

x n = R sin  n-1,

де R – радіус гіперсфери; 1 - кут між радіусом-вектором ОА і ортогональною проекцією ОА1 радіуса-вектора ОА на координатну гіперплощину Ох1х2... х n-1 ; 2 - кут між ОА1 і ортогональною проекцією ОА2 відрізка ОА1 на координатний (n-2)-вимірний підпростір Ох1х2...хn-2 ; і т.д., нарешті:  n-1 - кут між ОА n-2 і віссю Ох1.

Як видно із системи рівнянь (3), задавшись якими-небудь n-1 параметрами із 2n-1, можна однозначно обчислити решту невідомих із системи n лінійних рівнянь.

Методи перетворення проекцій. Розглядаються обертання навколо проекціюючих підпросторів на конкретних прикладах.

Знаходження натуральної величини трикутника у 4-вимірному просторі. На модифікованому епюрі Радіщева задано проекції трикутника АВС на координатних площинах Ох1х2, Ох2х3, Ох1х4 та Ох3х4 (рис. 10). Шляхом обертання перетворюємо площину заданого трикутника у площину, повністю паралельну до однієї з шести 2-вимірних координатних площин, або, іншими словами, знаходимо натуральну величину трикутника.На рисунку натуральна величина трикутника заштрихована.

Рис.10

Рис. 11

Плоскопаралельне переміщення. Розглянутий вище метод обертання легко узагальнюється на метод плоскопаралельного переміщення, розглядаючи останній як обертання без фіксування осі обертання. Суть плоскопаралельного переміщення розглянемо на конкретних прикладах.

Знаходження натуральної величини трикутника 4-вимірного простору (рис. 11). Потрібно методом плоскопаралельного переміщення знайти натуральну величину трикутника.Для розв'язання задачі необхідно шляхом плоскопаралельного переміщення змінити розташування площини трикутника на повністю паралельне до однієї з координатних 2-площин. Проводимо чотири плоскопаралельні переміщення трикутника (рис.12). На рисунку натуральна величина трикутника заштрихована.

Рис. 12 Рис. 13

На модифікованому епюрі Радіщева (рис. 13) методом плоскопаралельного переміщення знаходимо відстань від точки М до площини, заданої трикутником АВС.

Метод заміни підпросторів проекцій. Розроблений спосіб плоскопаралельного переміщення дозволяє перейти до обгрунтування способу заміни підпросторів проекцій. Суть методу заміни підпросторів проекцій розглянуто на конкретних прикладах.

У четвертому розділі поставлена задача знаходження повністю геометричної моделі багатопараметричних залежностей, що дозволяє не тільки ув'язати всі змінні, але й виразити її візуально на кресленні чи моніторі комп'ютера. Наявність такої моделі дозволяє вирішувати практичні задачі не тільки математично, але й формалізованими геометричними діями графічними засобами. Візуалізація складної залежності між багатьма змінними дає можливість добитися максимальної наочності в розумінні всіх дій, що виконуються над моделлю, та зробити метод геометричного дослідження доступним і зрозумілим користувачеві.

Гіперповерхнею 4-вимірного простору є 3-вимірний багатовид Б3 цього простору у прикладній багатовимірній геометрії розглядається як геометрична модель простої залежності деякої функції від трьох аргументів.

Рис. 14

Графічне задавання гіперповерхні 4-вимірного простору. (рис. 14). На рис. 14 показана поверхня Б2 (1), що одержана у січній гіперплощині рівня х3 = х31; поверхня Б2 (2) – у гіперплощині рівня х3 = х32; ... ; Б2 (m1) – у гіперплощині рівня х3=х3m1. Сукупність m1 одержаних таким чином поверхонь розглядається як дискретний каркас гіперповерхні Б3, який визначає її наближено. Гіперповерхня Б3 задається дискретним каркасом 2-вимірних поверхонь Б2 (l1), де l1 = 1, 2, ..., m1, а кожна з цих поверхонь, і, у свою чергу, задається каркасом одновимірних багатовидів, тобто ліній: Б1 (l2), де l2 = 1, 2, ..., m2. У результаті одержуємо наближене вираження гіперповерхні Б3 дискретним каркасом плоских кривих ліній, кількість яких визначається добутком m1m2.

Зображення гіперповерхні 4-вимірного простору на модифікованому епюрі Радіщева. На рис. 15 зображено одержаний каркас на модифікованому епюрі Радіщева. На такому кресленні не складно будувати перетини гіперповерхні Б3 з різними геометричними фігурами, зокрема, проекціюючими гіперциліндричними поверхнями і проекціюючими гіперплощинами.

Лінії, що задають каркасно кожну з 2-вимірних поверхонь Б2 як складову каркаса гіперповерхні Б3, записуємо у одному і тому ж аналітичному виразі, наприклад, відповідним поліномом:

Крива Б1(11): х1 = f1(Aij; x4) – для х3 = x31; x2 = x21;

Крива Б1(12): х2 = f2(Aij; x4) – для х3 = x31; x2 = x22;

................................................................................................. (4)

Рис. 15 Рис. 16

Для переходу від дискретного каркаса 2-вимірної поверхні Б12, кожна з ліній якого задана рівнянням (4), потрібно перейти до неперервного, наприклад, через функціональні вираження однотипних коефіцієнтів рівнянь (4) від зміни параметра х2:

Aij = (Bij; x2) – для х3 = х31. (5)

Якщо у рівняння кривої (4) замість коефіцієнтів Aij підставити відповідні їм значення із (5), то одержимо рівняння 2-вимірної поверхні Б12:

x1 = f(((Bij; x2; x4))) – для х3 = х31, (6)

або скорочено: х1 = f(x2, x4). (7)

Аналогічно одержуються рівняння 2-вимірних поверхонь каркаса Б3, у які вже входять три змінні: х1; х2; х4.

Якщо тепер визначити функціональні залежності коефіцієнтів Bij від аргумента х3 і підставити їх у рівняння (6), то в результаті одержимо шукане рівняння 3-вимірної гіперповерхні Б3 4-вимірного простору:

x1 = f(((Сij; x2; x3; x4))), (8)

або скорочено: х1 = F(x2; x3; x4). (9)

2-вимірні багатовиди 4-вимірного простору. Графічне задавання 2-багатовиду. (рис. 16).

Для переходу до зображення багатовиду Б2 на епюрі, одержані криві проекціюємо на 2-вимірні координатні площини. На рис. 17 зображено дискретний каркас 2-вимірного багатовиду Б2 на модифікованому епюрі Радіщева, який наближено задає цей багатовид.

Аналітичне вираження 2-вимірного багатовиду 4-вимірного простору. Переходимо від дискретного каркасу до неперервного. Для цього лінії каркаса виражаються аналітично всі у одному і тому ж вигляді, наприклад, поліномом: х1 = f(Ai, x4) – для х3 = х3i, i = 1, ..., m (10)

Далі визначаються функціональні залежності однотипних коофіцієнтів Аі від змінної х3: Аі = (Ві, х3). (11)

Підставляючи значення коефіцієнтів Аі із (11) у (10), вводиться у залежність третя змінна х3: x1 = f((Bi, x3), x4), (12)

або скорочено: х1 = f(x3, x4). (12a)

Рис. 17 Рис. 18

Для одержання повної залежності необхідно ввести ще четверту змінну, у даному разі координату х2.Для цього у рівняння кривої каркаса (10) вводяться функціональні залежності коефіцієнтів Аі від змінної х2:

Аі =(Сі, х2). (13)

Loading...

 
 

Цікаве