WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаРізне → Моделювання біомедичних багатопараметричних систем методами багатовимірної геометрії (автореферат) - Реферат

Моделювання біомедичних багатопараметричних систем методами багатовимірної геометрії (автореферат) - Реферат

Рис. 3 Рис. 4

Як один із можливих варіантів пропонуємо на кресленні зображати 2-вимірні координатні площини по обидва боки від вертикального напрямку (у першому варіанті розташування площин як на рис. 1), або, відповідно, горизонтального (якщо епюр передбачає горизонтальне розташування площин у другому варіанті, рис. 2). Тоді модифікований таким чином епюр Радіщева для точки А 4-вимірного простору матиме один із виглядів, представлених на рис. 3 і 4.

На рис. 3 залишено напрям координатної осі Ох1 вправо від вертикалі (як на рис.1), а вліво направлена вісь Ох3. Відповідно, на рис. 4 осі з парними індексами направлені горизонтально, а осі з непарними індексами – вертикально, так що вісь Ох1 направлена вверх (як і у вихідному епюрі Радіщева на рис. 2), а вісь Ох3 – вертикально вниз. Пропонована модифікація епюра Радіщева дозволяє, по-перше, представити на епюрі 4-вимірного простору не три, а чотири координатні 2-вимірні площини: Ох1х2, Ох1х4, Ох2х3 та Ох3х4, з відповідними проекціями точки А: А12, А14, А23 та А34. Як видно з рисунків, всі проекції точки знаходяться на неперервних лініях зв'язку.

По-друге, на представленому модифікованому епюрі Радіщева наявні 2 пари ортогонально доповняльних 2-вимірних координатних площин проекцій: Ох1х2 і Ох3х4 та Ох2х3 і Ох1х4. (На епюрі Радіщева ці пари координатних площин взагалі відсутні).

Взагалі ж у 4-вимірному просторі всього наявні три пари ортогонально доповняльних двовимірних координатних площин: Ох1х2 - Ох3х4, Ох1х3 - Ох2х4 та Ох1х4 - Ох2х3.

Аналогічно розглядаються епюри 5-вимірного, 6-вимірного, 7-вимірного, 8-вимірного, 9-вимірного та n-вимірного простору.

Проводиться узагальнення дослідження для n-вимірного простору. Як випливає з розглянутих вище епюрів у наведених прикладах, на класичному епюрі Радіщева завжди наявні n-1 2-вимірних координатних площин із Сn2 присутніх у декартовій прямокутній системі координат. Для більшості позиційних задач, як і багатьох метричних, така кількість 2-вимірних координатних площин, взагалі, достатня. Все ж існують метричні задачі нарисної геометрії багатовимірного простору, для розв'язання яких їх недостатньо. Прикладами таких задач можуть слугувати задачі на знаходження натуральних величин геометричних фігур та відстаней від точки до заданих підпросторів методами перетворення проекцій тощо. Для розв'язання таких задач на епюрі необхідною умовою є наявність на ньому ортогонально доповняльних підпросторів, зокрема, ортогонально доповняльних 2-вимірних координатних площин. Як бачимо з наведених вище прикладів класичних епюрів Радіщева, на них взагалі відсутні ортогонально доповняльні підпростори. На пропонованому ж модифікованому епюрі маємо, по-перше, 2(n-2) 2-вимірних координатних площин (а не n-1, як на класичному епюрі Радіщева). По-друге, на модифікованому епюрі представлені також пари ортогонально доповняльних підпросторів розмірностей m і n-m, де 2mn-2.

Порівняльні кількості 2-вимірних координатних площин на класичному епюрі Радіщева та модифікованому наведено в табл.1.

Табл.1

Узагальнений модифікований епюр Радіщева. Узагальнюємо модифікований епюр так, щоб на ньому була представлена більша кількість 2-вимірних координатних площин, ніж на вихідному модифікованому, та на якому всі, без винятку, проекції об'єкта на кресленні були б зв'язані неперервними лініями зв'язку.

Рис. 5

У роботі розглянуто пропоноване узагальнення для епюрів багатовимірних просторів для 6-вимірного, 7-вимірного, 8-вимірного, 9-вимірного та n-вимірного простору. Наводимо епюр 9-вимірного простору. Для переходу від модифікованого епюру до узагальненого перемістимо координатні осі з непарними індексами з вертикального розташування в горизонтальне, як показано на рис.5.

Як видно з рисунків, на узагальненому епюрі наявні 20 координатних 2-вимірних площин. (На модифікованих епюрах їх 14, а на класичних епюрах Радіщева – 8).

Як видно з епюра на рис. 5 на узагальненому епюрі ортогонально доповняльних пар 4-вимірних і 5-вимірних координатних підпросторів із 126, маємо 120 пар. Відсутні лише 6 пар: Ох1х3х5х7 – Ох2х4х6х8х9; Ох1х3х5х9 – Ох2х4х6х7х8; Ох1х3х7х9 – Ох2х4х5х6х8; Ох1х5х7х9 – Ох2х3х4х6х8; Ох2х4х6х8 – Ох1х3х5х7х9; Ох3х5х7х9 – Ох1х2х4х6х8. (На модифікованому епюрі їх 70).

Із 84 пар ортогонально доповняльних координатних підпросторів розмірностей 3 і 6 на узагальненому епюрі присутні 70 пар. (На модифікованому епюрі їх 42). Відсутні лише 14 таких пар: Ох1х3х5 – Ох2х4х6х7х8х9; Ох1х3х7 – Ох2х4х5х6х8х9; Ох1х3х9 – Ох2х4х5х6х7х8; Ох1х5х7 – Ох2х3х4х6х8х9; Ох1х5х9 – Ох2х3х4х6х7х8; Ох1х7х9 – Ох2х3х4х5х6х8; Ох2х4х6 – Ох1х3х5х7х8х9; Ох2х4х8 – Ох1х3х5х6х7х9; Ох2х6х8 – Ох1х3х4х5х7х9; Ох3х5х7 – Ох1х2х4х6х8х9; Ох3х5х9 – Ох1х2х4х6х7х8; Ох3х7х9 – Ох1х2х4х5х6х8; Ох4х6х8 – Ох1х2х3х5х7х9; Ох5х7х9 – Ох1х2х3х4х6х8.

Із 36 пар ортогонально доповняльних координатних підпросторів 9-вимірного простору розмірностей 2 і 7 на узагальненому епюрі присутні 20 пар: Ох1х2 – Ох3х4х5х6х7х8х9; Ох1х4 – Ох2х3х5х6х7х8х9; Ох1х6 – Ох2х3х4х5х7х8х9; Ох1х8 – Ох2х3х4х5х6х7х9; Ох2х3 – Ох1х4х5х6х7х8х9; Ох2х5 – Ох1х3х4х6х7х8х9; Ох2х7 – Ох1х3х4х5х6х8х9; Ох2х9 – Ох1х3х4х5х6х7х8; Ох3х4 – Ох1х2х5х6х7х8х9; Ох3х6 – Ох1х2х4х5х7х8х9; Ох3х8 – Ох1х2х4х5х6х7х9; Ох4х5 – Ох1х2х3х6х7х8х9; Ох4х7 – Ох1х2х3х5х6х8х9; Ох4х8 – Ох1х2х3х5х6х7х9; Ох5х6 – Ох1х2х3х4х7х8х9; Ох5х8 – Ох1х2х3х4х6х7х9; Ох6х7 – Ох1х2х3х4х5х8х9; Ох6х9 – Ох1х2х3х4х5х7х8; Ох7х8 – Ох1х2х3х4х5х6х9; Ох8х9 – Ох1х2х3х4х5х6х7. (На модифікованому епюрі маємо 14 пар).

Переходимо до розгляду епюру n-вимірного простору. Якщо узагальнити модифікований епюр аналогічно вищерозглянутому конкретному прикладу. то одержаний епюр набуде вигляду, зображеному на рис. 5.

Табл.2

Узагальнення виконано таким чином, щоб координатні двовимірні площини розташовувались по обидва боки від вертикального (горизонтального) центрального напряму декількома вертикальними (горизонтальними) пасами, що утворюються стикованими між собою двовимірними координатними площинами. (На епюрі Радіщева присутній тільки один такий пас, а на модифікованому епюрі – 2). Одержаний таким чином узагальнений епюр включає k(n-k) координатних двовимірних площин, де n – розмірність простору, а k – кількість суміжних вертикальних (горизонтальних) пасів цих площин на кресленні. Зокрема, коли k = 2, маємо випадок модифікованого епюра, а при k = 1 – класичний епюр Радіщева.

У таблиці 2 наведено порівняльні кількості координатних площин для епюрів Радіщева, модифікованого та узагальненого епюрів.

У третьому розділі поставлена задача розв'язати існуючу проблему теоретичного обгрунтування методів перетворення проекцій, які вважаються могутнім засобом для спрощення алгоритмів розв'язування задач нарисної геометрії багатовимірного простору графічними засобами. Ключем до розв'язання проблеми послужив аналіз обертального руху в багатовимірному просторі, що дозволяє обгрунтувати розмірність лінійного підпростору, який відіграє роль "осі обертання" та використати його результати для обгрунтування основ класичних методів перетворення проекцій обертання, плоскопаралельного переміщення та зміни площин проекцій.

Обертання точки у 3-вимірному просторі навколо нерухомих центра та осі обертання. Обертанні точки А навколо центра О на кут  (рис. 6), наприклад, за годинниковою стрілкою.Цей рух є однопараметричним. Переходимо від площини до простору (рис.7).

Рис. 6 Рис. 7

Геометрично двопараметричність обертання точки А навколо центра О у просторі Охуz випливає з розмірності траєкторії точки А у вигляді сфери, яка дорівнює двом. Це підтверджується і визначенням положення точки на сфері у сферичних координатах, які виражаються через декартові за формулами:

x = R sin  cos ;

y = R sin  sin  ; (1)

z = R cos  ,

де R – радіус сфери, що дорівнює О;  - кут між радіусом-вектором О і координатною віссю Оz;  - кут між віссю Ох і ортогональною проекцією ОА1 радіуса-вектора О на координатну площину Охy (рис.7). У розділі також розглядається обертання навколо 2-вимірної площини у 4-вимірному евклідовому просторі (рис.8). Вже у 3-вимірному просторі можливе обертання як навколо точки як центра обертання, так і навколо прямої як осі обертання.

Loading...

 
 

Цікаве