WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Найпростіші дії з матрицями - Реферат

Найпростіші дії з матрицями - Реферат


Найпростіші дії з матрицями
Означення. Нехай дано матрицю А, розмір якої , і скаляр . Добутком на А називається матриця розміру :
Щоб помножити матрицю А на скаляр , потрібно кожний її елемент помножити на цей скаляр.
Означення. Сумою двох матриць
розміру є матриця
такого самого розміру. Аналогічно означується різниця матриць. Додавати і віднімати можна лише матриці однакового розміру.
Згідно з наведеними означеннями виконуються такі правила:
Добуток матриць визначається через добуток лінійних перетворень. Нехай дано дві матриці: матрицю В розміру і матрицю А розміру
(1)
Розглянемо лінійні перетворення , , які можна подати у вигляді
.
Виключаючи змінні , знаходимо лінійне перетворення , яке можна записати так:
.
Позначивши
, (2)
подамо це лінійне перетворення у вигляді
,
або
..............................................
Останню систему зручно записувати у векторній формі , де матриця С розміру має вигляд
(3)
Означення. Матриця С виду (3) з елементами виду (2) називається добутком матриць В та А:С=ВА.
Елемент матриці С, що міститься в k-му рядку матриці В і s-му стовпці матриці А, є скалярним добутком k-го рядка матриці В та s-го стовпця матриці А.
Добуток матриць ВА є визначеним лише в тому разі, коли число стовпців першого множника дорівнює числу рядків другого множника.
Добуток матриць В розміру та А розміру є матрицею, розмір якої .
Лінійний n-вимірний простір
План:
1. Лінійний n-вимірний векторний простір.
2. Базис.
3. Власні значення та власні вектори матриць.
Векторний простір.
Означення. Упорядкована сукупність m дійсних чисел називається m-вимірним вектором і позначається вектором-стовпцем або вектором-рядком:
.
Числа називають координатами, або проекціями, вектора а. Число m називається розмірністю вектора а. Перехід від запису вектора у вигляді стовпця до запису у вигляді рядка та навпаки називається транспортуванням вектора.
Вектор, утворений транспортуванням вектора а, позначається так: .
Означення. Два вектори називаються рівними, якщо рівні між собою їх відповідні координати.
Означення. Множина всіх m-вимірних векторів називається m-вимірним простором і позначається .
Векторні простори , , можна розглядати відповідно як множину векторів на прямій (множину дійсних чисел), множину векторів на площині та множину векторів у тривимірному просторі. На відміну від векторів числа називають скалярами.
Означення. Вектор називається нульовим, або нуль-вектором, якщо всі його координати дорівнюють нулю. Нульовий вектор позначається 0 = (0, 0, ..., 0), або так само, як число нуль - знаком 0. Вектор -а = (-а1 , -а2, ..., -аm) називається протилежним вектору а = (а1 , а2, ..., аm).
На прямій , площині та у тривимірному просторі вектори можна геометрично зображати напрямленими відрізками. При цьому вони мають початок і кінець. Два вектори a, b є рівними між собою, якщо вони паралельні, мають одну й ту саму довжину та однаковий напрям. Рівні вектори можуть мати довільні різні початки. Сумі a+b векторів a та b відповідає діагональ паралелограма, побудованого на векторах a та b. (рис. 1)
Рис. 1
Щоб дістати різницю векторів a-b, будуємо трикутник, зі сторонами, що їх утворюють ці вектори. Тоді вектор, початок якого збігається з кінцем вектора a, а кінець - із кінцем вектора b, являтиме собою шукану різницю. При цьому виконується рівність b-a = b+(-a). (рис. 2)
Рис. 2
Вектор , де - деяке число, паралельний вектору а і має довжину ; напрям його при той самий, що й вектора а, при - протилежний напряму а (рис. 3).
Означення. Сумою двох векторів а та b називається вектор a+b, координати якого дорівнюють сумі відповідних координат векторів-доданків:
.
Добутком числа (скляра) на вектор а називається вектор , координати якого дорівнюють добутку на відповідні координати вектора а:
.
Вектори а та b називають колінеарними (паралельними), якщо їх відповідні координати пропорційні:
2. Означення: Базисом векторного простору називається будь-яка максимальна (повна) лінійно незалежна система векторів цього простору. Так систему векторів:
можна розглянути як базис простору .
Розглянемо дві системи векторів:
(2)
(3)
Система векторів (3) лінійно виражається через систему векторів (2), якщо кожен з них є лінійною комбінацією системи (2). Тобто .
Дві системи векторів називаються еквівалентними, якщо кожна з них виражається лінійно через іншу.
Кількість векторів, що входять в будь-яку максимальну, лінійно незалежну підсистему даної системи векторів, називається рангом цієї системи.
Ранг системи векторів має відповідний зв'язок з рангом матриці. Якщо, наприклад, з компонентів векторів системи (2) утворити матрицю , то її ранг дорівнюватиме рангу системи векторів і буде вказувати на максимальну кількість лінійно незалежних векторів-рядків (стовпчиків) цієї матриці. Отже, з рангом можна пов'язати і максимальну кількість лінійно незалежних рівнянь у системі лінійних рівнянь.
Звязок між базами.
має базис:
(4)
Якщо взяти довільний вектор , то з максимальності лінійно незалежних систем векторів (4) випливає, що
(5)
тобто вектор - є лінійною комбінацією векторів базису. Можна показати, що вираз (5) єдиний для вектора .
Нехай в просторі задано два базиси
(6)
(7)
Кожен вектор нового базису (7) як і будь-який вектор однозначно можна записати, аналогічно (5) через базис (6) у вигляді
(8)
Означення: Матрицю , стовпчики якої є координати векторів нового базису (7) в старому базисі (6), будемо називати матрицею переходу від базису е до базису е'.
Якщо розглянути дві матриці е і е', стовпчиками яких будуть компоненти векторів відповідно старого е і нового е' базисів, то рівність (8) можна записати у матричному вигляді
. (9)
З другого боку, якщо T' - матриця переходу від басилу (7) до басилу (6), то маємо рівність
(10)
Використовуючи (9) і (10) маємо:
З останньої рівності випливає, що матриця переходу від одного басилу до іншого завжди є не виродженою матрицею. Якщо є два базиси, то матриці переходу від одного до іншого взаємно обернені.
Нехай в задано два базиси (6) і (7) з матрицею переходу Зв'язок між координатами довільного вектора в цих двох базисах дає формула:
(11)
Помноживши рівність (11) зліва на матрицю Т-1 одержимо рівність
(12)
яка дає можливість одержати координати вектора в новому базисі е'.
Власні числа і власні вектори матриці.
Нехай деяка квадратна матриця розмірності з дійсними елементами, - деяке невідоме число. Тоді матриця , де Е - одинична матриця називається характеристичною матрицею для матриці А.
Поліном n-го степеня | | називається характеристичнимполіном матриці А, а його корені називаються власними числами матриці А.
Можна стверджувати, що подібні матриці мають однакові характерис-тичні поліноми і, як наслідок, однакові власні числа.
Наслідок: лінійне перетворення в різних базисах має різні матриці, але всі вони мають однакові власні числа. Тому можна твердити, що лінійне перетворення характеризується набором власних чисел, які в подальшому будемо називати спектром лінійного перетворення , або спектром матриці А.
Розглянемо лінійне перетворення в просторі таке, що переводить відмінний від нуля вектор в вектор пропорційний самому вектору , тобто:
(1)
Такий вектор будемо називати власним вектором перетворення , а - власним числом, що відповідає цьому власному вектору.
Розглянемо тепер задачу відшукання такого базису для лінійного перетворення , в якому б його матриця мала найпростіший діагональний вигляд.
Будемо вважати, що лінійне перетворення має такий характеристич-ний поліном, що всі його корені дійсні і різні між собою. Тобто, розв'язавши рівняння n-го порядку | | = 0 будемо мати n-різних дійсних коренів . Якщо виконується така умова, то лінійне перетворення дійсного лінійного простору має простий спектр.
Кожному власному числу , відповідає свій власний вектор. Власних векторів у цьому випадку буде також n. Вони утворюють лінійно незалежну систему векторів, їх можна розглядати як базис , в якому матриця лінійно-го перетворення А буде набувати найпростішого діагонального вигляду.
?
Розв'язання лінійних
рівнянь методом Гауса.
Метод Гауса розв'язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь полягає в послідовному виключенні змінних і перетворенні системи рівнянь
(1)
до трикутного вигляду
;
.............. (2)
Припустимо, що в системі (1) коефіцієнт а11 . Якщо ця умова не виконується, то на перше місце переносимо таке рівняння, щоб виконувалась умова а11 .
За допомогою першого рівняння виключимо х1 із решти рівнянь. Обчислення виконаємо в таблиці:
х1 х2 ... хn 1
Іноді вводять контрольний стовпець що дає змогу виявляти помилки.
Поділивши перший рядок на а11, позначимо
Далі перший рядок множимо послідовно на а21 і віднімаємо від другого рядка, множимо на а31 і віднімаємо від третього рядка і т.д.
Позначивши
дістанемо таблицю коефіцієнтів:
х1 х2 ... хn 1
Для невідомих , маємо систему n-1 рівнянь. Міркуючи, як і раніше, виключимо х2 з усіх рівнянь, починаючи з третього. Для цього спочатку поділимо другий рядок на . Якщо коефіцієнт , то переставимо рівняння так, щоб виконувалася умова .
Позначивши
,
помножимо другий рядок послідовно на і віднімемо від третього рядка; на і віднімемо від четвертого рядка і т.д. Дістанемо таблицю коефіцієнтів:
х1 х2 х3 ... хn 1
Продовжуючи процес виключення невідомих, дістанемо нарешті таблицю:
х1 х2 х3 ... хn-1 хn 1
Таблиця коефіцієнтів при невідомих набирає трикутного вигляду. На головній діагоналі всі елементи . Запишемо відповідну систему рівнянь:
Цю систему розв'язують, починаючи з останнього рівняння. Спочатку знаходить хn і підставляють в передостаннє рівняння, з якого визначають хn-1, і т.д.
Loading...

 
 

Цікаве