WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основні закони неперервних випадкових величин - Реферат

Основні закони неперервних випадкових величин - Реферат

Тоді

. (291)

Підставляючи вираз (291) у (290а), дістаємо

.

Остаточно маємо:

тоді . (292)

Отже,

(293)

(294)

8.1. Числові характеристики

1.

(295)

2.

;

3.

(296)

4. . (297)

Приклад 10. Задано

Знайти С, М (Х), D (Х),  (Х).

Розв'язання. Використовуючи формули (292), (295), (296), (297):

9. Розподіл Вейбулла

Неперервна випадкова величина Х має розподіл Вейбулла, якщо

За умовою нормування визначимо сталу С:

(298)

Щільність імовірностей для розподілу Вейбулла:

(299)

Функція розподілу ймовірностей

Звідси

(300)

Отже, розподіл Вейбулла визначається двома параметрами , .

9.1. Числові характеристики

1.

(301)

2.

.

3. . (302)

4. . (303)

Приклад 11. За заданими параметрами  = 2, = 4 записати математичний вираз для f (x), F (x) і обчислити числові характеристики М (X), D (X), (X).

Розв'язання. Використовуючи (302) — (306),

1. ;

що було нами доведено;

2.

3. .

10. Закони розподілу випадкових величин,пов'язаних із нормальним законом розподілу

Нормальному закону розподілу належить центральне місце в побудові статистичних моделей у теорії надійності та математичній статистиці.

10.1. Розподіл 2 (хі-квадрат)

Якщо кожна із Xі (і = 1, 2, ..., k) незалежних випадкових величин характеризується нормованим законом розподілу ймовірностей , то випадкова величина матиме розподіл 2 із k ступенями свободи, щільність імовірностей якої буде

Використовуючи умову нормування, знаходимо

;

Тоді (304)

Отже, (305)

Функція розподілу ймовірностей

(306)

10.1.1. Числові характеристики

= ;

. (307)

;

;

3. ;

. (308)

4. . (309)

Приклад 12. Кожна з 10 незалежних випадкових величин хі має закон розподілу N (0; 1). Записати вирази для f (x), F(x) і обчислити M (X), D (X),  (X).

Розв'язання. Використовуючи (308)—(312), дістаємо:

Таким чином,

10.2. Розподіл

Нехай випадкова величина Y має розподіл 2 із k ступенями свободи:

Знайти f (x), якщо . Оскільки Y = і при цьому , то згідно зі (196) дістанемо

Отже, щільність імовірностей розподілу

(310)

10.3. Розподіл

Нехай випадкова величина Y має розподіл 2 із k ступенями свободи:

Знайдемо f (x), якщо . Оскільки Y = x2 = (х), то . Використовуючи (196), дістаємо

Випадкова величина Х має розподіл , якщо

(311)

Функція розподілу ймовірностей

(312)

10.3.1. Числові характеристики -розподілу

1.

=

. (313)

2.

;

; (314)

3. . (315)

4. . (316)

Приклад 13. Випадкова величина Х має розподіл  із k = 8 ступенями свободи. Записати вираз для f (x), F(x) і обчислити M(X), D(X),(X).

Розв'язання. Обчислимо гамма-функції для k = 8:

=

Тут 7!! — добуток натурального ряду непарних чисел, починаючи від 1 до 7.

У загальному вигляді

(2n – 1)!! (317)

Отже,

10.4. Розподіл

Нехай випадкова величина Y має розподіл  із k ступенями свободи

Необхідно знайти f (x), якщо . Оскільки Y = Х = (х) і при цьому , то

.

Отже,

(318)

10.5. Розподіл Стьюдента

Незалежні випадкові величини Y і Х мають закони розподілу:

Знайти f (z), якщо . Для зручності подальших перетворень запишемо f (x) у вигляді

Використовуючи формулу (217), дістаємо:

Отже, якщо Y має розподіл N (0, 1), а випадкова величина Х – , то випадкова величина характеризуватиметься розподілом Стьюдента зі щільністю ймовірностей

(319a)

Тоді функція розподілу ймовірностей

. (319б)

10.5.1. Числові характеристики розподілу Стьюдента

.

Оскільки підінтегральна функція є непарною, а межі інтегрування симетричні відносно нуля:

. (320)

3. . (321)

4. . (322)

Приклад 14. Випадкова величина Х має розподіл Стьюдента із k = 7 ступенями свободи. Записати вираз для f (x), F(x) і обчислити M(X), D(X),(X).

Розв'язання. За заданим числом ступеней свободи k = 7 обчислимо гамма-функції:

;

;

;

;

.

10.6. Розподіл Фішера—Снедекора

Нехай задано дві незалежні випадкові величини Y і Х, які мають закони розподілу:

Знайти f (z), якщо Z = . Оскільки Y = ZХ і при цьому 0 < x < ; 0 < y < ; 0 < z < , то згідно з (217), дістаємо:

Отже, якщо випадкова величина Х має розподіл , а Y — , де k1 — число ступенів свободи випадкової величини Х, k2 — число ступенів свободи Y, і при цьому Х і Y не корельовані, то Z = має розподіл Фішера—Снедекора зі щільністю ймовірностей

(323)

Функція розподілу ймовірностей

(324)

10.6.1. Числові характеристики розподілу Фішера—Снедекора

(325)

2.

=

=

Отже,

3.

;

. (326)

4. . (327)

11. Рівномірний закон розподілу

Неперервна випадкова величина Х, що визначена на проміжку [a, b], має рівномірний закон розподілу, якщо

Функція розподілу ймовірностей

11.1. Числові характеристики

де

Тоді

3. ;

4. ;

5.

Приклад 15. Випадкова величина Х має розподіл Фішера із k1 = 6, k2 = 8 ступенями свободи. Записати вирази для f (x), F (x) і обчислити M(X), D(X),(X).

Розв'язання. Обчислимо значення гамма-функцій:

= 3! = 6;

= 6! = 6  5  4  3  2  1 = 720.

Тоді

Із розглянутих законів: 2, , розподіл Стьюдента, розподіл Фішера—Снедекора можна зробити висновок, що вони не залежать від параметрів тих законів розподілу, які лежать в основі їх побудови, а залежать лише від числа ступенів свободи.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное приложение. — М.: Наука, 1988.

  2. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961.

Loading...

 
 

Цікаве