WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основні закони неперервних випадкових величин - Реферат

Основні закони неперервних випадкових величин - Реферат

Імовірність потрапляння (Х, Y) у прямокутну область а < x < b, c < y < d, коли Kxy = 0,буде така:

Отже,

. (267)

Приклад 5. Робітник на верстаті виготовляє валики. Довжина Y і діаметр Х валика є незалежними випадковими величинами, що мають нормальний закон розподілу з числовими характеристиками: М(X) = 50 мм, (X) = 0,1 мм, М(Y) == 20 мм, (Y) = 0,0005 мм. Визначити відсоток бракованих валиків, якщо валик рахується стандартним, коли його розміри задовольняють умови:

(50 – 0,1) мм < х < (50 + 0,1) мм,(20 – 0,05) мм < y < (20 + 0,05) мм.

Розв'язання. Імовірність того, що валик не буде забракованим, визначається імовірністю влучення розмірів (х, у) у прямокутну область, зображену на рис. 100.

Рис. 100

Імовірність браку така:

що становить 31,74%.

3. Логарифмічний нормальний закон розподілу

Нехай Y має закон розподілу

Необхідно знайти f (x), якщо Х = еy.

Таким чином, Y є функцією випадкового аргументу Х. Тоді

Оскільки

Отже,

(268)

Закон розподілу випадкової величини Х із щільністю (268) називають логарифмічним нормальним законом.

3.1. Числові характеристики

1)

. (269)

2.

Виконуючи таку саму заміну, як і для знаходження М(Х), дістаємо:

3. . (270)

Приклад 6. Випадкова величина Х має закон розподілу N (2; 4). Знайти математичне сподівання і дисперсію для логарифмічного нормального закону випадкової величини Y.

Розв'язання.М(Y) =

4. Урізаний (ліворуч) нормальний закон

Нормальний закон посідає особливе місце в теорії ймовірностей та математичній статистиці, особливо у прикладних задачах. Але існує певний клас задач, які характерні для теорії надійності, коли випадкова величина Х може набувати лише додатні числові значення. У цьому разі використовують урізаний ліворуч нормальний закон, що зображений на рис. 101 для а > 0.

Pис. 101

Щільність імовірностей цього закону буде така:

Сталу С знаходимо з умови нормування:

Звідси .

Отже,

(271)

(272)

4.1. Числові характеристики

1.

. (273)

2.

1)

2)

3)

3.

(274)

Приклад 7. За заданим N (2; 4) записати f (x), F(x) для урізаного нормального закону (ліворуч) і знайти М(Х), D(X).

Розв'язання. Використовуючи (273) — (276), одержимо:

5. Гамма-розподіл

Неперервна випадкова величина Х має гамма-розподіл імовірностей, якщо

де , С — константа, яка визначається із умови нормування:

Тут

де називають гамма-функцією.

Таким чином,

. (275)

Тоді

(276)

Функція розподілу ймовірностей

(277)

Отже, гамма-розподіл визначається двома параметрами і .

Розглянемо властивості гамма-функції:

(278)

  1. Установимо зв'язок між гамма-функціями

Зінтегруємо

Отже,

. (279)

Якщо, наприклад,  = n, де n — ціле невід'ємне число, то:

Г(n + 1) = nГ(n).

Використовуючи рівність (278) для Г(n), дістаємо:

Г(n) = (n – 1)Г(n – 1),

для Г(n – 1) рівність (278) набуде такого вигляду:

Г(n – 1) = (n – 2)Г(n – 2)

і так для кожного цілого значення аргументу  гамма-функції.

Таким чином,

Г(n + 1) = n Г (n) = n(n – 1) Г (n – 1) == n (n – 1) (n – 2)Г(n – 2) = ... == n(n – 1)(n – 2) ... Г(1) = n(n – 1)(n – 2) ... 1 = n!

Отже,

Г(n + 1) = n!(280)

Так, наприклад, Г(6) = 5! = 5  4  3  2  1 = 120.

5.1. Числові характеристики

1.

. (281)

2.

= | здійснивши таку саму заміну, як і для визначення М (Х), дістанемо | =

;

. (282)

3. (283)

6. Розподіл Ерланга k-го порядку

Якщо в гамма-розподілі k набуває лише цілих значень (k 1), то гамма-розподіл перетворюється в розподіл Ерланга k-го порядку, щільність ймовірностей якої

(283а)

Функція розподілу ймовірностей

(283б)

Закону розподілу Ерланга k-го порядку підлягає сума незалежних випадкових величин х = х1+ х2+ ... + хк, кожна з яких має експоненціальний закон із параметром .

6.1. Числові характеристики

(283в)

Приклад 8. Задано

Знайти С і F(x). Обчислити М (Х), D (Х), (Х).

Розв'язання. Із умови задачі маємо:

Використовуючи формули (275), (276), (277), (281), (282), (283), записуємо:

.

Тоді

7. Експоненціальний закон розподілу

Експоненціальним законом випадкової величини називають гамма-розподіл, в якому = 1.

Для цього закону розподілу

(284)

(285)

Графіки f (x), F(x) зображені на рис. 102 і 103.

Рис. 102 Рис. 103

7.1. Числові характеристики

Оскільки = 1, маємо такі співвідношення.

1. (286)

2. . (287)

3. . (288)

4. Me для експоненціального закону визначається так:

(289)

Серед усіх законів неперервних випадкових величин лише експоненціальному притаманна властивість — відсутність післядії, а саме: якщо пов'язати випадкову величину із часом, то для цього закону минуле не впливає на передбачення подій у майбутньому. Цю властивість експоненціального закону використовують у марківських випадкових процесах, теорії масового обслуговування, теорії надійності.

Властивість відсутності післядії унаочнює рис. 104.

Рис. 104

На рис. 104 зображено щільність експоненціального закону Коли збіжить час t0, який вигляд матиме щільність експоненціального закону на проміжку[t0, ]?

Розглянемо заштриховану область. Щоб звести заштриховану область до стандартного для щільності вигляду, маємо виконати таке нормування, щоб площа, обмежена f(t) на проміжку [t0, ], дорівнювала одиниці. Дістанемо нову щільність імовірностей, визначену для t  [t0, ], яка буде точною копією початкової функції.

Приклад 9. Задано

Визначити М (Х),  (Х), Ме.

Розв'язання. Використовуючи формули (286—289), одержимо:

оскільки ;

8. Бета-розподіл

Неперервна випадкова величина Х має бета-розподіл, якщо

Для визначення С використовуємо умову нормування

.

Інтеграл називають бета-функцією і позначають , де

Тобто:. (290)

Отже, знайдемо

. (290а)

Як відомо,

Якщо t = my, то

Позначимо .

Loading...

 
 

Цікаве