WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основні закони неперервних випадкових величин - Реферат

Основні закони неперервних випадкових величин - Реферат

Реферат на тему:

Основні закони неперервних випадкових величин

1. Нормальний закон розподілу

Випадкова величина Х має нормальний закон розподілу ймовірностей, якщо

f (х) = , – < x < , (257)

де а = М (X),  =  (X). Отже, нормальний закон визначається звідси параметрами а і  і називається загальним.

Тоді

F(x)=dx. (258)

Якщо а = 0 і  = 1, то нормальний закон називають нормованим.

У цьому разі

f (x)= – < x < , (259)

тобто f (x) = (x) є функцією Гаусса,

F(x) =dx. (260)

Графіки f (x), F(x) для загального нормального закону залежно від параметрів а і  зображені на рис. 91 і 92.

Рис. 91 Рис. 92

Із рис. 91 бачимо, що графік f (x) розміщений симетрично відносно умовно проведеного перпендикуляра в точку Х = а. Зі зміною значень параметра а крива f (x) зміщується праворуч, якщо а > 0 або ліворуч, якщо a < 0, не змінюючи при цьому своєї форми; f (a) = max, отже, Мо= а.

Із рис. 92 бачимо, що графік F(x) є неспадною функцією, оскільки f (x) = F(x) > 0 і, як буде доведено далі, F(a) = 0,5.

Отже, Ме = а.

Зі зміною значень параметра а крива F(x) зміщується праворуч для а > 0 або ліворуч при а < 0, не змінюючи при цьому форми кривої.

Отже, для нормального закону Мо = Ме = а.

Зі зміною значень  при а = const змінюється крутизна кривих у околі значень X = а, що унаочнюють рис. 93 і 94.

Рис. 93 Рис. 94

Для нормованого нормального закону графіки функцій f (x), F (x) зображено на рис. 95 і 96.

Рис. 95 Рис. 96

Загальний нормальний закон позначають: N (a; ). Так, наприклад, N (–2; 4) — загальний нормальний закон із значенням параметрів а = –2,  = 4.

Нормований нормальний закон позначають N (0; 1).

1.1. Визначення Ме, Аs, Es

По визначенню медіани маємо F(Me)=dx = 0,5 

Для визначення As необхідно знайти 3.

,

оскільки підінтегральна функція є непарною, а межі інтегрування є симетричними відносно нуля. Таким чином, = 0, а отже, і As = 0.

Для визначення Еs необхідно знайти 4.

Отже, =3.

Тоді Еs =

Отже, доведено, що для нормального закону Аs = Es = 0 при будь-яких обмежених значеннях параметрів а і .

1.2. Формули для обчислення ймовірностей подій:

1)

Отже,

P() = . (261)

2)

Отже,

. (262)

Для N (0, 1) формули (261), (262) наберуть такого вигляду:

1.3. Правило трьох сигмдля нормального закону

Коли , то згідно з (262) маємо:

.

Практично ця подія при одному експерименті здійсниться, а тому її вважають практично вірогідною. Звідси:

Тобто ймовірність того, що внаслідок проведення експерименту випадкова величина Х, яка має закон розподілу N (a; ), не потрапить у проміжок , дорівнює 0,0027. Це становить 0,27%, тобто практично вважається, що ця подія внаслідок проведення одного експерименту не здійсниться.

1.4. Лінійне перетворення для нормального закону

Нехай випадкова величина Х має закон розподілу N (a; ). Необхідно знайти f (y), якщо y = kx + b.

Оскільки М(Y) = М(kх + b) = kM (x) + b = ka + b.

D(Y) = D (kx + b) = k2D(x) = k2, (y) = , то щільність імовірностей випадкової величини Y буде мати вигляд:

f (y) = . (263)

Отже, при лінійному перетворенні випадкова величина Y також матиме нормальний закон зі значеннями параметрів

М(Y) = ka + b, .

Приклад 1. Відомо, що випадкова величина Х має закон розподілу N(– 4; 2).

Записати вирази для f (x), F(x) і накреслити їх графіки. Обчислити Р(– 6 < x < 3), P(< 4). Чому дорівнюють Мo, Ме, Аs, Es?

Розв'язання.

Графіки f (x), F(x) наведені на рис. 97 і 98.

Рис. 97 Рис. 98

Використовуючи формули (261), (262), обчислюємо ймовірності:

1)

2)

Mo = Me = a = – 4; As = Es = 0.

Приклад 2. Випадкова величина Х має закон розподілу N (2; 5). Знайти f (y), якщо у = – 2х + 1. Обчислити Р(–2 < y < 5).

Розв'язання. Оскільки М(Y) = М (kx + b) = kM(x) + b = – 2  2 + 1 = = – 3, D (Y) = D (kx + b) = k2D (x) = 4  25 = 100,  (y) = 10, то щільність імовірностей випадкової величини Y

Імовірність події –2 < у < 5 така:

Приклад 3. Задано Знайти М(у), kxy, якщо у = 2х2 – 3x + 5.

Розв'язання. Оскільки М(Y) = М(2х2 – 3x + 5) = 2M(x2) – 3M(x) ++ 5; M(XY) = M(x (2x2 – 3x + 5)) = M(2x3 – 3x2 + 5x) = 2M(x3) – 3M(x2) ++ 5M(x) і при цьому М(х) = –1, М(x2) = D(x) + M2(x) = 1 + (–1)2 = 2, то нам необхідно лише знайти М(х3).

Отже, М(х3) = – 4.

M(Y) = 2  2 – 3  (–1) + 5 = 12;

M(XY) = 2  (–4) – 3  2 + 5  (–1) = –19;

Kxy = M(XY) – M(X) M(Y) = –19 – (–1)  12 = 7.

Отже, одержали: M(Y) = 12, kxy = 7.

Приклад 4. Відомо, що діаметр кульки підшипника D є випадковою величиною, що має нормальний закон розподілу. Бракування кульок здійснюється за таким алгоритмом: якщо кулька не проходить через отвір із діаметром 5,5 мм, але проходить через отвір із діаметром 5,58 мм, то її розмір відповідає стандарту. Якщо будь-яка із наведених умов не виконується, то кулька бракується. Визначити d, якщо брак становить 10%.

Розв'язання. Середній діаметр кульки

md = мм.

Якщо позначимо d1 = 5,5мм, d2 = 5,58 мм, то ймовірність того, що кулька буде забракована, визначається як:

.

Оскільки — математичне сподівання, то виконуються рівності:

Далі маємо:

= мм.

2. Двовимірний нормальний закон(нормальний закон на площині)

Щільність імовірностей для нормального закону на площині має вигляд

. (264)

Тут exp (z) = e z, де

;

ax = M(Х),

Якщо rxy = 0, то щільність імовірностей набере такого вигляду:

(265)

У цьому випадку

Якщо ах = ау = 0, то

(266)

У результаті перетину поверхні (264) площинами, паралельними координатній площині хОу, і проектування перерізів на цю площину утворюється множина подібних і однаково розташованих еліпсів зі спільним центром на початку координат. Кожний такий еліпс — геометричне місце точок, де f (x, y) є величиною сталою. Тому еліпси називають еліпсами рівних щільностей. Перетинаючи поверхні (265), (266) такими площинами і проектуючи ці перерізи на координатну площину хОу, дістаємо множину кіл.

Loading...

 
 

Цікаве