WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основні закони цілочислових випадкових величин - Реферат

Основні закони цілочислових випадкових величин - Реферат

1.

;

. (245)

2.

;

.

; (246)

. (247)

Серед дискретних випадкових величин лише геометричному закону притаманна властивість відсутності післядії. Це означає, що ймовірність появи випадкової події в k-му експерименті не залежить від того, скільки їх з'явилося до k-го, і завжди дорівнює p.

Приклад 5. Гральний кубик підкидається до першої появи цифри 6. Визначити М (Х), D (X),  (Х) для випадкової величини Х числа здійснюваних підкидань.

Розв'язання. Випадкова величина Х є цілочисловою, що має геометричний закон розподілу ймовірностей. За умовою задачі: p = ; q = .

Скориставшись (245), (246), (247), дістанемо:

; ; .

Приклад 6. Спортсмен стріляє зі спортивної рушниці по одній і тій самій мішені. Імовірність влучити в мішень при одному пострілі є величиною сталою і дорівнює 0,8. Стрільба по мішені ведеться до першого влучення. Визначити М (Х), D (X),  (Х) випадкової величини Х — числа витрачених спортсменом набоїв.

Розв'язання. Випадкова величина Х є цілочисловою, з геометричним законом розподілу ймовірностей. За умовою задачі: p = 0,8; q = 0,2.

Згідно з (245), (246) і (247) маємо:

; ; .

5. Рівномірний закон розподілу ймовірностей

Цілочислова випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень обчислюються за формулою:

. (248)

У табличній формі запису рівномірний закон розподілу має вигляд:

1

2

3

...

n

Умова нормування виконується.

Імовірнісна твірна функція для цього закону

, (249)

або .

Числові характеристики рівномірного закону:

=При х = 1 дістаємо невизначеність , яку розкриваємо за правилом Лопіталя=

При х = 1знову дістаємо невизначеність , яку розкриваємо за правилом Лопіталя =

. (250)

  1. Виконуючи аналогічні, але більш громіздкі перетворення, дістаємо:

(251)

(252)

Приклад 7. Знайти М (Х), D (X),  (Х), якщо цілочислова випадкова величина Х має рівномірний закон розподілу і можливі значення її такі:

.

Розв'язання. За умовою задачі маємо: n = 100, Pk = 1/100. Згідно з (250), (251), (252) дістаємо:

.

.

.

6. Гіпергеометричний законрозподілу ймовірностей

Цілочислова випадкова величина Х має гіпергеометричний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою

. (253)

Гіпергеометричний закон розподілу ймовірностей відбувається за таких обставин: нехай задано деяку множину однотипних елементів, число яких дорівнює n; з них елементів мають, наприклад, ознаку А (колір, стандартність), а решта елементів — ознаку В; коли із цієї множини навмання беруть m елементів, число елементів k з ознакою А (або В), що трапляється серед m навмання взятих елементів, буде цілочисловою випадковою величиною з гіпергеометричним законом розподілу.

У табличній формі запису цей закон розподілу подається так:

0

1

2

...

m

При цьому m n.

Умова нормування .

Залежно від умови задачі найменше значення може становити m = 0, 1, 2, 3, ..., m – 1.

Числові характеристики цього закону обчислюються за наведеними далі формулами:

1. . (254)

2. . (255)

3. . (256)

Приклад 8. В ящику міститься 10 однотипних деталей, із них 7 стандартних, а решта є бракованими. Навмання із ящика беруть m деталей. Побудувати закони розподілу цілочислової випадкової величини Х — появу числа стандартних деталей серед m навмання взятих і обчислити М (Х), D (X),  (Х), якщо: 1) m = 3; 2) m = 4; 3) m = 5; 4) m = 7.

Розв'язання. Використовуючи формулу (253) побудуємо гіпергеометричні закони розподілу:

1. m = 3; = 7; = 3; k = 0, 1, 2, 3.

У табличній формі гіпергеометричний закон подається так:

0

1

2

3

або

k

0

1

2

3

.

  1. ;

;

  1. .

2. m = 4; = 7; = 3; k = 1, 2, 3, 4.

У табличній формі закон розподілу подається так:

1

2

3

4

або

k

1

2

3

4

.

;

;

  1. .

3. m = 5; n1 = 7; n = 3; k = 2, 3, 4, 5.

У табличній формі закон подається так:

2

3

4

5

або

k

2

3

4

5

1)

;

2)

;

.

3) .

4. m = 7; = 7; = 3; k = 4, 5, 6, 7.

У табличній формі закон подається так:

4

5

6

7

або

k

4

5

6

7

.

  1. ;

  2. ;

  1. .

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное приложение. — М.: Наука, 1988.

  2. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961.


 
 

Цікаве

Загрузка...