WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основні закони цілочислових випадкових величин - Реферат

Основні закони цілочислових випадкових величин - Реферат

Реферат на тему:

Основні закони цілочислових випадкових величин

Серед дискретних випадкових величин особливе місце в теорії ймовірностей посідають такі, що набувають лише цілих невід'ємних значень Х = хk = 0, 1, 2, 3, ... .

Ці випадкові величини називають цілочисловими.

1. Імовірнісні твірні функції та їх властивості

Для дослідження законів розподілу цілочислових випадкових величин використовують імовірнісну твірну функцію. Імовірнісною твірною функцією називають збіжний степеневий ряд виду:

. (231)

Тут рk = Р(Х = k), тобто є ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення k = 0, 1, 2, 3, ... .

Імовірнісній твірний функції притаманні такі властивості

  1. А(Х) визначена в кожній точці інтервалу [–1; 1].

  2. При Х = 1 маємо:

,

оскільки це є умовою нормування для дискретної випадкової величини.

  1. Із (231) дістаємо

,

де Аk (0) — k-та похідна від А(х), при Х = 0. Отже, знаючи аналітичний вираз для А(х), можемо знайти ймовірність будь-якого можливого значення Х = k.

  1. .

При х = 1 дістанемо

.

Звідси

. (232)

5. .

При х = 1

Це можна записати так:

Тоді

Отже, формула для обчислення дисперсії буде така:

(233)

2. Біноміальний закон розподілу ймовірностей

Цілочислова випадкова величина X має біноміальний закон розподілу, якщо ймовірність її можливих значень обчислюється за формулою Бернуллі:

k = 0, 1, 2, 3, ..., n.(234 а)

У табличній формі цей закон набирає такого вигляду:

0

1

2

3

...

n

При перевірці виконання умови нормування використовується формула біному Ньютона, тому закон розподілу називають біноміальним:

.

Побудуємо ймовірнісну твірну функцію для цього закону

.

Отже, імовірнісна твірна функція для біноміального закону

. (234 b)

Знайдемо основні числові характеристики для цього закону:

,

. (235)

  1. ; ;

; (236)

. (237)

Приклад 1. У партії однотипних деталей стандартні становлять 95%. Навмання з партії беруть 400 деталей. Визначити М (Х), D (X),  (Х) для дискретної випадкової величини Х — появи числа стандартних деталей серед 400 навмання взятих.

Розв'язання. Цілочислова випадкова величина Х має біноміальний закон розподілу ймовірностей, яка може набувати значення

Х = k = 0, 1, 2, ..., 400.

Імовірності можливих значень обчислюються за формулою Бернуллі: , де р = 0,95 — імовірність появи стандартної деталі, q = 1 – p =1 – 0,95 = 0,05 — імовірність появи нестандартної деталі.

Згідно з (235), (236), (237), маємо:

= 400  0,95 = 380;

= 400  0,95  0,05 = 19;

= 4,36.

Приклад 2. У кожному із 100 контейнерів міститься по 8 виробів першого сорту, а решта 2 — браковані. Із кожного контейнера навмання беруть по одному виробу. Визначити М(Х), D (X),  (X) для дискретної випадкової величини Х — поява числа виробів першого сорту серед 100 навмання взятих.

Розв'язання. Цілочислова випадкова величина Х має біноміальний закон розподілу. Із умови задачі маємо:

n = 100, p = 0,8, q= 0,2, k = 0, 1, 2, 3, ..., 100.

За формулами (235), (236), (237) дістаємо:

= 100  0,8 = 80;

= 100  0,8  0,2 = 16;

= 4.

3.Пуассонівський законрозподілу ймовірностей

Цілочислова випадкова величина Х має пуассонівський закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень

, k = 0, 1, 2 ,3, ..., n, (238)

тобто обчислюється за формулою Пуассона, де . У табличній формі цей закон розподілу буде такий:

Х = k

0

1

2

3

...

n

.

Умова нормування виконується.

Побудуємо ймовірну твірну функцію для цього закону:

.

Отже,

. (239)

Скориставшись (232), (233), дістанемо вирази для М (Х), D (X):

  1. ;

. (240)

  1. ;

;

; (241)

. (242)

Отже, для Пуассонівського закону розподілу ймовірностей М (Х) = D (X) = а.

Приклад 3. Прилад має 1000 мікроелементів, які працюють незалежно один від одного. Імовірність того, що мікроелемент вийде із ладу під час роботи приладу, є величиною сталою і дорівнює 0,004. Визначити М (Х), D (X),  (Х) випадкової величини Х — числа мікроелементів, що вийдуть із ладу під час роботи приладу.

Розв'язання. Випадкова величина Х є цілочисловою, що має пуассонівський закон розподілу — імовірності її можливих значень обчислюються за формулою Пуассона, котра є асимптотичною щодо формули Бернуллі для великих значень n і малих значень p, так званих малоймовірних випадкових подій.

За умовою задачі маємо:

= 1000  0,004 = 4;

= 4;

Приклад 4. У деякому населеному пункті маємо 0,1% дальтоніків. Навмання вибирають 5000 мешканців цього населеного пункту. Визначити М (Х), D (X),  (Х) випадкової величини Х — числа дальтоніків, яких буде виявлено серед 5000 навмання вибраних мешканців.

Розв'язання. Цілочислова випадкова величина Х має пуассонівський закон розподілу. Із умови задачі: n = 5000, p = 0,0001. Згідно з (240), (241), (242), дістаємо:

= 5000  0,0001 = 0,5;

= 0,5;

.

4. Геометричний закон розподілу ймовірностей

Інколи спроби здійснюють до першої появи випадкової події. Число проведених спроб буде цілочисловою випадковою величиною. Цілочислова випадкова величина Х має геометричний закон розподілу, якщо ймовірності її можливих значень

, k = 1, 2, 3, ..., n.(243)

Тут p — імовірність появи випадкової події в кожній спробі — є величиною сталою, q = 1 – p.

У табличній формі геометричний закон розподілу такий:

1

2

3

4

...

...

При перевірці умови нормування використовується формула суми нескінченної геометричної прогресії, тому й закон розподілу називають геометричним:

Побудуємо ймовірнісну твірну функцію

.

Ураховуючи, що , дістаємо

Оскільки , то

;

. (244)

Числові характеристики для цього закону:

Loading...

 
 

Цікаве