WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Функції випадкових аргументів - Реферат

Функції випадкових аргументів - Реферат

.

Якщо нормування виконується, то f (у) знайдено вірно.

За знайденою f (у) функцією розподілу ймовірностей визначається

. (197)

Числові характеристики функцій неперервного випадкового аргументу визначаються за формулами:

математичне сподівання

; (198)

дисперсія

; (199)

середнє квадратичне відхилення

. (200)

Приклад 3.

Задано

Знайти f (у), F (у), якщо Y = 2x2.

Обчислити М (Y); D (Y); (Y).

Розв'язання. Використовуючи загальну методику знаходження f (у), дістанемо наведені далі висновки.

1. Знаходимо інтервал можливих значень для випадкової величини Y:

;

,

оскільки на проміжкує монотонно зростаючою функцією.

2. Із функціональної залежності Y = 2х2 записуємо явний вираз

.

3. Знаходимо похідну функції

4. Використовуючи (196), будуємо функцію f (у):

.

5. Перевіряємо виконання умови нормування:

Нормування виконується, тому щільність імовірностей випадкової величини Y

Використовуючи (197), знаходимо

Отже,

Використовуючи формули (198), (199), (200), знаходимо числові характеристики:

М(Y) можна обчислити, не відшукуючи f (у):

.

Так само, як і для М (Y):

.

В. Функція немонотонна.

Нехай , де функція є немонотонною функцією, зображеною на рис. 73.

Рис. 73

У цьому разі обернена функція до буде неоднозначною, а саме Y = у буде відповідати в загальному випадку множина обернених функцій.

І, очевидно, що випадковій події відповідатимуть k несумісних випадкових подій:

.

Отже, у цьому разі

або, використовуючи властивості функції розподілу ймовірностей, можна записати:

.

Тоді

=

Отже,

(201)

Методика знаходження f (у) така сама, як і для монотонної функції. Щоб обчислити числові характеристики, можна використати формули (198), (199), (200).

Приклад 4. Задано

Знайти f (у), якщо Y = x2.

Розв'язання. Побудуємо графіки f (х),Y = x2 (pис. 74 і 75).

Рис. 74 Рис. 75

1. Якщо , то .

2. Оскільки Y = х2 є немонотонною функцією при , знаходимо обернені функції:

.

3. Похідні від обернених функцій будуть:

.

4. Будуємо функцію f (у), використовуючи (201):

.

5. Перевіряємо виконання умови нормування:

Отже, умова нормування виконується, a це свідчить про те, що f (у) знайдено правильно.

Остаточно записуємо:

Відшукаємо числові характеристики:

M (Y) = 1.

Для обчисленя дисперсії D (Y) знаходимо

.

.

4. Функції двох випадкових аргументів та їх числові характеристики

У загальному випадку функцію двох аргументів Х і Y можна позначити як

, (202)

де є невипадковою функцією.

Якщо Х та Y є дискретними випадковими величинами, то і Z буде дискретною. Якщо Х та Y є неперервними, то і Z буде неперервною.

4.1. Знаходження F (z), f (z), якщо Z = Х + Y

Розглянемо функціональну залежність Z = Х + Y, де Х і Y є неперервними випадковими величинами.

Потрібно за відомою щільністю f (x, y) знайти F (z), f (z).

Імовірність влучення Z в області Z < z, а саме Z < Х + Y зображено на рис. 76.

Рис. 76

Ця ймовірність обчислюється так:

(203)

або

(204)

Оскільки

,

,

то формули (203), (204) можна подати так:

(205)

(206)

Тоді щільність імовірностей для випадкової величини Z буде така:

Отже,

(207)

(208)

Якщо випадкові величини Х і Y є незалежними, то f (x, y) == f (x) f (y). За цієї умови формули наберуть такого вигляду:

(209)

(210)

Формули (209), (210) називають згорткою, або композицією, двох законів.

Приклад 5. Задано закони розподілу ймовірностей незалежних випадкових величин Х, Y:

Знайти F (z), f (z), якщо Z = X + Y. Побудувати графікиF (z), f (z).

Розв'язання. Побудуємо множину -сумісної появи випадкових величин Х і Y. Ця множина зображена на pис. 77.

Рис. 77

Пряма Z = Х + Y зі збільшенням Z рухатиметься паралельно сама собі, відтинаючи від множини  змінні площі (pис. 77, 78 і 79).

Pис. 78 Рис. 79

У точці (– 4; –2) Z = – 6; у точці (2; –2) Z = 0; у точці (– 4; 6)Z = 2; у точці (2; 6) Z = 8.

1. При Z < – 6 F (z) = 0.

2. У разі зміни Z у проміжку – 6 < Z < 0 маємо:

Отже, на проміжку [– 6; 0] функція розподілу ймовірностей змінюється за законом

3. Оскільки в точці (– 4; 4) Z = 0, то на проміжку [0; 2] маємо:

Отже, на проміжку [0, 2], що зображено на рис. 78, функція розподілу ймовірностей змінюється за законом

4. У точці (2, 6) Z = 8 і функція розподілу ймовірностей при своїй зміні наближатиметься до одиниці. Щоб дістати аналітичний вираз для F(z), від одиниці віднімаємо змінну площу S трикутника, зображеного на рис. 79.

Отже,

Таким чином, загальний вигляд функції розподілу ймовірностей буде такий:

Тоді щільність імовірностей матиме вигляд

Графіки F (х), f (х) зображені на pис. 80 і 81.

Рис. 80 Рис. 81

4.2. Знаходження F (z), f (z),якщо

Оскільки пряма Y = ZХ ділить площину хОу на дві непересічені області, зображені на рис. 82.

Рис. 82

В області D1 виконується випадкова подія і в області . Отже, імовірність події дорівнюватиме сумі ймовірностей двох несумісних випадкових подій, що зможуть відбутися або в області , або в області :

.

Отже,

(211)

або

(212)

Щільність імовірностей

Остаточно маємо:

(213)

Якщо Х і Y є незалежними, то

. (214)

Приклад 6. Задано

Знайти f (z), якщо

Розв'язання. Згідно з (214) маємо

Перевірка умови нормування:

Отже, f (z) знайдено правильно.

Таким чином,

,

4.3. Знаходження F(Z), f (z), якщо Z = ХY.

Якщо Z =ХY, тобто випадкова величина Z дорівнює добутку двох випадкових величин Х і Y, то ймовірність потрапляння випадкової величини Z в область унаочнює рис. 83.

Рис. 83

Маємо:

або . (215)

Скориставшись (215), дістанемо

Отже, (216)

Якщо випадкові величини Х і Y є незалежними, то

. (217)

Приклад 7. Незалежні випадкові величини Х і Y мають рівномірний закон розподілу ймовірностей, щільності ймовірностей яких такі:

Знайти F (z), f (z), якщо Z = XY.

Розв'язання. Імовірність влучення випадкової величини Z = XY в область D зображена нарис. 84.

Рис. 84

Згідно з (217) маємо:

Отже,

Звідси F (z) = F'(z) =

Перевірка виконання умови нормування:

Умова нормування виконується. Отже, f (z) знайдено вірно.

5. Числові характеристики функціїn випадкових аргументів

1. Математичне сподівання.

А.М (Х + Y) = М (Х) + М (Y). (218)

!

Доведення. Нехай Х і Y є неперервними випадковими величинами. Тоді

Оскільки , то

Висновок 1.

М (АХ + ВY + С) = АМ (Х) + ВМ (Y) + С. (219)

тут А, В, С — деякі сталі.

!

Доведення.

оскільки

Висновок 2.

. (220)

Б. Якщо випадкові величини є між собою незалежними, то

М (ХY) = М (Х) М (Y). (221)

!

Доведення.

(оскільки для незалежних випадкових величин f (x, y) = f (x) f (y)).

Висновок. Для n незалежних випадкових величин

Loading...

 
 

Цікаве