WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Функції випадкових аргументів - Реферат

Функції випадкових аргументів - Реферат

Реферат на тему:

Функції випадкових аргументів

1. Функції одного випадкового аргументу

Функцією випадкового аргументу Х називають таку випадкову величину Y, яка набуває значення Y = у =(х) щоразу, коли Х = х, де є невипадковою функцією. Якщо Х є дискретною випадковою величиною, то і функція випадкового аргументу Y = (х) буде дискретною.

Коли Х є неперервною випадковою величиною, то і Y = (х) буде неперервною.

1.1. Функції дискретного випадкового аргументу

Нехай закон дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

Х = хi

x1

x2

x3

............

xk

P(X = xi) = pi

p1

p2

p3

.............

pk

Тоді закон розподілу випадкової величини Y = (х) матиме такий вигляд:

Y = α (хi)

α (х1)

α (х2)

α (х3)

..................

α (хk)

P(Y = α (хi) = рi

p1

p2

p3

...............

pk

де кожне можливе значення Y дістають, виконуючи ті операції, які вказані в невипадковій функції, умовно позначеній α.

При цьому, якщо в законі розподілу випадкової величини Y є повторення значень, то кожне з цих значень записують один раз, додаючи їх імовірності.

Приклад 1.

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

Х = хi

– 4

–2

–1

1

2

4

Р(X = хi) = рi

0,1

0,2

0,1

0,1

0,2

0,3

Побудувати закон розподілу ймовірностей для Y = 3х2.

Розв'язання. Iз функціональної залежності Y = 3х2 маємо:

Y = 3хi2

16

4

1

1

4

16

Р(у = 3хi2) = рi

0,1

0,2

0,1

0,1

0,2

0,3

Ураховуючи повтори можливих значень Y, дістаємо:

Р (у = 16) = 0,1 + 0,3 = 0,4;

Р (у = 4) = 0,2 + 0,2 = 0,4;

Р (у = 1) = 0,1 + 0,1 = 0,2.

Отже, закон розподілу дискретної випадкової величини Y набирає такого вигляду:

Y = уj

1

4

16

Р (у = уj) = рj

0,2

0,4

0,4

2. Числові характеристики функціїдискретного випадкового аргументу

1. Математичне сподівання

(190)

2. Дисперсія

. (191)

3. Середнє квадратичне відхилення

(192)

Приклад 2. За заданим законом розподілу

Х = хi

0

Р (Х = хi) = pi

0,1

0,2

0,1

0,1

0,2

0,1

0,2

ОбчислитиМ (Y), D (Y),  (Y), якщо Y = cos2 х.

Розв'язання. Побудуємо закон розподілу Y.

Y = cos2 хi

Р (Y = cos2 хi) = pi

0,1

0,2

0,1

0,1

0,2

0,1

0,2

або

Y = cos2 хi

1

Р (Y = cos2 хi) = pi

0,1

0,2

0,1

0,1

0,2

0,1

0,2

Y = cos2 хi

1

Р (Y = cos2 хi) = pi

0,1

0,2

0,1

0,1

0,2

0,1

0,2

Y = уj

0,25

0,5

0,75

1

Р (Y = уj) = pj

0,3

0,3

0,3

0,1

3. Функції неперервного випадкового аргументу та їх числові характеристики

Нехай закон розподілу ймовірностей неперервної випадкової величини Х задано щільністю f (х).

Необхідно знайти f (у), якщо Y =.

А. Функція монотонна.

Розглянемо випадок, коли Y = є монотонно зростаючою функцією, зображеною на pис. 71.

Рис. 71

Якщо випадкова величина Х міститься у проміжку [х; х + х], то оскільки Y жорстко зв'язана з випадковою величиною Х функцією (х), то Y міститиметься у проміжку [у, у + у] (рис. 71). Отже, події х < Х < х +х і у < Y < у +у будуть рівноймовірними:

Р(х < Х < х +х) = Р(у < Y < у +у). (193)

Згідно з визначенням щільності ймовірностей

.

Але

F( у + у) – F(у) = Р (у < Y < у +у) = Р (х < Х < х +х) згідно зі (193).

Тоді:

Отже,

. (194)

При у0, х0 з урахуванням функціональної залежності між Y і Х, помноживши і поділивши дріб (194) на х, дістанемо:

Із Y = (х) знаходимо явно Х = (у). Тоді

(195)

Якщо , де є монотонно спадною функцією (рис. 72),

Рис. 72

то додатному приросту аргументу х +х відповідатиме від'ємний приріст функції y – y i похідна .

А оскільки f (y)0, то об'єднуючи обидва випадки, дістанемо

(196)

Б. Загальна методика знаходження f (у).

Нехай неперервна випадкова величина Х задана щільністю ймовірностей f (х), якщо .

Необхідно визначити f (у), якщо , де є монотонною функцією.

1. Необхідно визначити множину можливих значень для Y

Оскільки то .

2. Із знаходимо явний вираз Х через Y, а саме: .

3. Знаходимо похідну

.

4. Будуємо щільність імовірностей для випадковой величини Y

.

5. Перевіряється виконання умови нормування для f (у):

Loading...

 
 

Цікаве