WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин - Реферат

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин - Реферат

Рис. А. Стохастична і кореляційна залежність між Y та Х, М (Y / х) = (х)

Рис. B. Стохастична і кореляційна залежність між Х та Y, М (X / у) = (у)

Рис. С. Стохастична залежність міжY та Х, D (Y / х) = (х); кореляційний зв'язок відсутній

Рис. D. Стохастична залежність міжХ і Y, D (X / у) = (у); кореляційний зв'язок відсутній

Рис. Е. Незалежні випадкові величини

Рис. F. Незалежні випадкові величини

Отже, рис. А, В ілюструють те, що кореляційною залежністю між випадковими величинами Y і Х є функціональна залежність умовних математичних сподівань М (X / у), М (Y / х) від аргументів у та х:

М (X / у) = (у). (167)

М (Y / х) = (х). (168)

Рівняння (167) та (168) називають рівняннями регресії. Якщо М (Y / х) = М (y), М (X / у) = М (х), то кореляційна залежність відсутня, але існує стохастична залежність (див. рис. С і D), оскільки змінюються умовні дисперсії. Випадок, коли між Х і Y відсутня стохастична, а отже, і кореляційна залежність, ілюструють рис. Е і F.

Отже, якщо між випадковими величинами Y і Х існує кореляційна залежність, то між ними обов'язково іcнує й стохастична залежність. Але за наявності стохастичної залежності між випадковими величинами Х і Y кореляційної залежності між ними може й не бути.

Приклад 6.

Задано f (x, y) = 1/48, якщо (x, y)  ; f (x, y) = 0, якщо (x, y)  .

Де

Знайти Kху, rху.

Розв'язання. Застосовуючи (148) — (152), дістаємо:

Kxy = M (XY) – M (X) M (Y) = –1 – (–1)1 = –1+1 = 0.

Отже, Kxy = 0, що говорить нам про відсутність кореляційного зв'язку між випадковими величинами Х та Y.

Оскільки Kxy = 0, то й rxy = 0.

При знайдених f (x), f (y) числові характеристики можна обчислити і за такими формулами:

(169)

(170)

(171)

(172)

Приклад 7. Задано

–  х  , –  у  .

Знайти а, М (х / у), М (у / х). Обчислити rxy.

Розв'язання. Згідно з умовою нормування (132) маємо:

Отже, і при цьому

, –   x  , –   y  .

Скориставшись (154), знайдемо

Отже,

, –   х  .

Далі, застосувавши (155), знайдемо:

Отже,

, –   у  .

Знайдемо основні числові характеристики. Згідно з (137) — (142) маємо:

,

оскільки підінтегральна функція є непарною, а межі інтегрування симетричні відносно нуля.

Отже, , звідки .

Отже, Тоді .

Таким чином, дістали

.

Визначимо умовні щільності ймовірностей, скориставшись (156) і (157):

Отже,

, –   у  .

Звідси

, –   х  .

Отже, є лінійною функцією регресії відносно аргументу у.

Аналогічно маємо:

Таким чином також є лінійною функцією регресії відносно аргументу х.

Приклад 8. Задано

, якщо ;

, якщо , де

Знайти а і rxy.

Розв'язання. Область  зображено на рис. 68.

Рис. 68

За умовою нормування (131) обчислюємо значення а:

Отже, а = 2.

Тоді

, якщо ,

, якщо , де .

Числові характеристики знаходимо за (137) — (142):

.

.

.

.

Отже,

Kху = 1,48; Rxy  0,197.

10. Система довільного числавипадкових величин

10.1. Функція розподілу системиn випадкових величин

Функцією розподілу n випадкових величин називається така функція від n аргументів (х1, х2 ... хп), яка визначає ймовірність спільної одночасної появи подій

((Х1 < х1)  (X2 < х2)  (X3 < х3)  ...  (Xn < х1n):

(173)

Ця функція має всі властивості функції розподілу ймовірностей одного та двох аргументів.

Якщо принаймні один з аргументів хі  – , то функція розподілу ймовірностей системи п випадкових величин прямує до нуля.

Якщо із системи х1, х2,... хп виділимо деяку підсистему х1, х2,..., хk (k < n), то функцію розподілу для цієї підсистеми дістанемо, коли решта аргументів прямуватиме до :

Зокрема, дістанемо функцію розподілу одного аргументу, якщо всі аргументи, окрім х1, спрямуємо до :

Якщо всі аргументи спрямувати до , то .

10.2. Щільність імовірностей системиn випадкових величин

Щільність імовірностей системи п випадкових величин є функція

(174)

Умова нормування для системи п неперервних випадкових величин

(175)

Щільність імовірностей для деякої підсистеми (х1, х2 ,... хk) системи (х1, х2 ,... хп), де k< n подається у вигляді

(176)

Наприклад,

(177)

Умовна щільність підсистеми (х1, х2,..., хk) системи (х1, х2,..., хп) (k < n) визначається за формулою

. (178)

Якщо випадкові величини системи (х1, х2 ,..., хп) є незалежними, то

(179)

10.3. Числові характеристики системиn випадкових величин

(180)

(181)

(182)

При цьому виконується рівність

. (183)

Коли i = j, маємо:

(184)

Усі кореляційні моменти і дисперсії розміщують у вигляді квадратної таблиці, яка називається кореляційною матрицею системи п випадкових величин і має такий вигляд:

. (185)

Елементи кореляційної матриці симетрично розміщені відносно її головної діагоналі. Оскільки , , заповнюють лише половину кореляційної матриці. І в цьому випадку вона набуває такого вигляду:

. (186)

Якщо для всіх i = 1, ..., n; j = 1, ..., n, то кореляційна матриця набирає такого вигляду:

. (187)

Таку матрицю називають діагональною.

За відомими кореляційними моментам визначаємо парні коефіцієнти кореляції:

(188)

При i = j маємо.

Із парних коефіцієнтів кореляції утворюють так звану нормовану квадратну матрицю:

. (189)

Приклад 9.

Дано кореляційну матрицю системи (х1, х2, ..., хп):

.

Побудувати нормовану кореляційну матрицю.

Розв'язання. Згідно зі (188) маємо:

.

Нормована кореляційна матриця подається у вигляді

.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное приложение. — М.: Наука, 1988.

  2. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961.

Loading...

 
 

Цікаве