WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин - Реферат

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин - Реферат

Скориставшись властивістю (5), можна обчислити ймовірності

Р(а < Х < b, Y < y) = F(b, y) – F(a, y);

P(X < x, c < Y < d) = F(x, d) – F(x, c). (128)

6. Імовірність влучення точки (Х, Y) в довільний прямокутник (a < X< b, c < Y < d) обчислюємо так:

P(a < x < b, c < y < d) = F(b, d) + F(a, c) – F(a, d) – F(b, c). (129)

!

Доведення.

Розглянемо такі випадкові події:

A = (X < b, Y < d); B = (X < a, Y < c); C = (a < X < b, Y < c); D = (X < a, c < Y < d); E = (a < X < b, c < Y < d) (рис. 64).

Рис. 64

Оскільки випадкові події B, C, D, E несумісні, маємо:

A = BCDE.

P(A) = P(BCDE) = P(B) + P(C) + P(D) + P(E).

P(x < b, y < d) = P(x < a, y < c) + P(a < x < b, y < c) +

+ P(х < a, c < у < d) + P(a < x < b, c < y < d).

Згідно із (128) дістанемо:

F(b, d) = F(a, c) + F(b, c) – F(a, c) + F(a, d) – F(a, c) +

+ P(a < X < b, c < Y < d);

P(a < X < b, c < Y < d) = F(b, d) + F(a, c) – F(a, d) – F(b, c), що й треба було довести

Приклад 4. Закон розподілу системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) задано функцією розподілу ймовірностей

Обчислити P(0 < x < 4,0 < y < 2).

Розв'язання. Відповідну графічну схему зображено на рис. 65.

Рис. 65

Далі згідно зі (129) маємо:

P(0 < x < 4; 0 < y < 2) = F(4; 2) + F(0; 0) – F(0; 2) – F(4; 0) = 1 – e – 8 – e – 6 + e – 14.

6. Щільність імовірностей системидвох неперервних випадкових величин (Х, Y), f(x, y) та її властивості

Характеристикою системи неперервних випадкових величин є щільність імовірностей.

Для визначення щільності ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) застосовується формула (129).

Розглянемо прямокутник зі сторонами х та у (рис. 66).

Рис. 66

Імовірність розміщення системи (Х, Y) у прямокутній області(x < X < x + x, y < Y < y + y) обчислюється за формулою

P(x < X < x + x, y < Y < y + y) == F(x + x, y + y) + F(x, y) – F(x + x, y) – F(x, y + y).

Поділивши цю ймовірність на площу прямокутника x, y і спрямувавши x  0, y  0, дістанемо ймовірність у точці, тобто щільність:

Отже,

(130)

Функція f (x, y) може існувати лише за умови, що F (x, y) є неперервною за аргументами х і у та двічі диференційовною.

Функції f (x, y) у тривимірному просторі відповідає певна поверхня — так звана поверхня розподілу ймовірностей системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y).

Тоді f (x, y) dxdy — імовірність розміщення системи двох випадкових величин у прямокутнику зі сторонами dx, dy.

Властивості f (x, y)

  1. Функція f (x, y)  0, оскільки F(x, y) є неспадною відносно аргументів х і у.

  2. Умова нормування системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y) така:

(131)

Якщо , то (131) набирає такого вигляду:

. (132)

3. Імовірність розміщення системи змінних (х, у) в області обчислюється так:

(133)

Імовірність розміщення системи змінних (х, у) у прямокутній області D = (a < x < b, c < y < d)

(134)

4. Функція розподілу ймовірностей системи двох змінних визначається з рівняння

(135)

5. Якщо , то (136)

Приклад 5. Задано

f (x, y) = a, якщо (x, y)  , a = const;

f (x, y) = 0, якщо (x, y)  ,

де  = (–2  x  4, –3  y  5).

Знайти a і F(x, y). Обчислити P(–1 < x < 2, –2 < y < 3).

Розв'язання. Множина  зображена на рис. 67.

Рис. 67

Для визначення а застосовуємо умову нормування (131):

,

де .

Отже, маємо

f (x, y) = 1/48, якщо (x, y)  ,

f (x, y) = 0, якщо (x, y)  .

Згідно зі (136) при –2 < x < 4, –3 < y < 5 дістанемо:

Якщо –2 < x < 4, y > 5, то

Якщо x > 4, – 3 < y < 5, то

Звідси

7. Основні числові характеристики для системи двох неперервних випадкових величин (Х, Y)

(137)

(138)

(139)

(140)

(141)

(142)

Якщо, то виконуються співвідношення:

(143)

(144)

(145)

(146)

(147)

Якщо , то маємо:

(148)

(149)

(150)

(151)

(152)

8. Умовні закони розподілудля неперервних випадкових величин Х і Y, які утворюють систему (Х,Y)

Як і в системі двох дискретних випадкових величин, у системі двох неперервних випадкових величин розглядаються умовні закони розподілу.

Ураховуючи (124), можна записати

(153)

Звідси

(154)

(155)

Умовні закони розподілу для неперервних випадкових величин Х, Y, що утворюють систему (Х, Y), визначаються умовними щільностями ймовірностей f (x / y), f (y / x):

. (156)

Аналогічно доводимо співвідношення

(157)

Із (156), (157) дістаємо

f (x, y) = f (x) f (y / x) = f (y) f (x / y). (158)

Для умовних законів розподілу неперервних випадкових величин умова нормування має такий вигляд:

(159)

Якщо випадкові величини Х та Y є незалежними, то

f (x / y) = f (x), f (y / x) = f (y). (160)

У цьому разі (158) набирає вигляду

f (x, y) = f (x) f (y). (161)

Для незалежних випадкових величин Х та Y виконується рівність

F(x, y) = F(x) F(y). (162)

Числові характеристики для умовних законів розподілу ймовірностей:

(163)

(164)

(165)

(166)

9. Стохaстична залежність

Дві випадкові події називаються незалежними, якщо , або F(x, y) = F(x) F(y).

Для неперервних випадкових величин Х і Y умовy незалежності можна подати через щільності ймовірностей:

f (x, y) = f (x) f (y).

Умову незалежності можна записати і так:

f (x / y) = f (x), f (y / x) = f (y).

Залежність випадкових величин у певному розумінні є узагальненням поняття функціональної залежності. Якщо в разі функціональної залежності між величинами Х та Y кожному значенню Х = х відповідає певне значення Y = у, то в разі залежності між випадковими величинами Y і Х кожному можливому значенню Х = х відповідає множина значень Y, які характеризуються умовними щільностями ймовірності f (y / x).

Отже, залежність між випадковими величинами означає аналітичну залежність щільності умовного розподілу однієї з них від значень, яких набуває друга величина. Таку залежність називають стохастичною або ймовірнісною. Виявляється вона не лише у зміні умовних законів розподілу, а й у зміні умовних числових характеристик: M (X / y), M (Y / x), D (X / y), D (Y / x), тобто умовних математичних сподівань та умовних дисперсій (рис. АF).

Loading...

 
 

Цікаве