WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин - Реферат

Багатовимірні випадкові величини. система двох випадкових величин - Реферат

При цьому має виконуватись умова нормування:

.

Умовне математичне сподівання

(120)

Умовна дисперсія

(121)

Умовне середнє квадратичне відхилення

(122)

Приклад 2. Задано двовимірний закон розподілу:

Х= хj

Y = yi

10

20

30

Pyi

– 6

0,02

0,05

0,03

0,1

– 4

0,08

0,15

0,07

0,3

– 2

0,2

0,3

0,1

0,6

Pxj

0,3

0,5

0,2

Обчислити М (Х / Y = – 4); М (Х / Y = 30); (Y / X= –4 );  (Y / X = 30).

Розв'язання. Для обчислення М (Х / Y = – 4), М (Х / Y = 30) необхідно побудувати відповідні умовні закони розподілу.

Умовний закон розподілу Х / Y = – 4:

X = x j

10

20

30

0,08/0,3

0,15/0,3

0,07/0,3

P(X / Y = – 4) = 0,8 / 0,3 + 0,15 / 0,3 + 0,07 / 0,3 = 1

M(X / Y = – 4) = 1 / 0,3 (10  0,08 + 20  0,15 + 30  0,07) =

= (0,8 + 3 + 2,1) = 3,2 / 0,3 = 10,7;

M(X2 / Y= – 4) = 1 / 0,3 (100  0,08 + 400  0,15 + 900  0,07) =

= (8 + 60 + 63) = 131 / 0,3 = 1310 / 3;

D (X / Y= – 4) = 1310 / 3 – (32 / 3)2 = 1310 / 3 – 3481 / 9 = (3930 – 3481) / 9 = 449 / 9;

(X / Y = – 4) = (449 / 9)0,5 = 1 / 3(2906)0,5 = 7,1.

Умовний закон розподілу Y / Х = 30:

Y = у j

– 6

– 4

– 2

0,03 / 0,2

0,07 / 0,2

0,1 / 0,2

P (Y / Х = 30) = 0,03 / 0,2 + 0,07 / 0,2 + 0,1 / 0,2 = 1;

M (Y / X = 30) = 1 / 0,2 (– 6  0,03 – 4  0,07 – 2  0,1) = = 1 / 0,2 (– 0,18 – 0,28 – 0,2) = – 0,66 / 0,2= – 3,3;

M (Y 2 / X = 30) = (36  0,03 + 16  0,07 + 4  0,1) 1 / 0,2 (1,08 ++ 1,12 + 0,4) = 2,6 / 0,2 = 13;

D (Y / X = 30) = 13 – (–3,3)2 = 13 – 10,89 = 2,11;

 (X / Y = – 4) = (2,11)0,5 = 1,45.

Приклад 3. Ймовірність того, що при перевірці деталь виявиться стандартною, дорівнює 0,8. Перевірці підлягають 3 деталі. Побудувати закон системи двох дискретних випадкових величин Х — появи числа бракованих деталей і Y — появи числа стандартних деталей. Обчислити rxy.

Розв'язання. Запишемо закон у табличній формі:

Х

Y

0

1

2

3

Pyi

0

0

0

0

1

0

0

0

2

0

0

0

3

0

0

0

Pxj

Обчисливши ймовірності, дістанемо:

Х

Y

0

1

2

3

Pyi

0

0

0

0

0,008

0,008

1

0

0

0,096

0

0,096

2

0

0,384

0

0

0,384

3

0,512

0

0

0

0,512

Pxj

0,512

0,384

0,096

0,008

М (X) == 0  0,512 + 1  0,384 + 2  0,096 + 3  0,008 = 0,6;

M (X 2) = xj2pxj = 0  0,512 + 1  0,384 + 4  0,096 + 9  0,008 == 0,384 + 0,384 + 0,072 = 0,84;

D (X) = M (X2) – M2(X) = 0,84 – 0,36 = 0,48;

x = (0,48)0,5;

М (Y) = yipyi = 0  0,008 + 1  0,096 + 2  0,384 + 3  0,512 = 0,096 +

+ 0,768 + 0,536 = 2,4;

M (Y 2) = yi2pyi = 0  0,008 + 1  0,096 + 4  0,384 + 9  0,512 = 0,096 +

+ 1,536 + 4,608 = 6,24;

D (Y) = M(Y2) – M2(Y) = 6,24 – (2,4)2 = 6,24 – 5,76 = 0,48;

y = (0,48)0,5;

M (XY) = yixjpij = 2  0,384 + 2  0,096 = 0,96;

Kxy = M (XY) – M (X) M (Y) = 0,96 – 2,40,6 = 0,96 – 1,44 = – 0,48;

rxy= Kxy/ x y = – 0,48 / 0,48 = – 1.

5. Функція розподілу ймовірностей системи двох випадкових величинта її властивості

Функцією розподілу ймовірностей системи двох випадкових величин (Х, Y) називають таку функцію двох аргументів х, у, яка визначає ймовірність cпільної появи подій (X < x)  (Y < y):

F(x,y) = P((X < x)  (Y < y)). (123)

Геометрично ця функція зображена на рис. 62

Рис. 62

Властивості F(x, y)

  1. 0  F(x, y)  1, оскільки 0  P((X < x)  (y < y))  1.

  2. Якщо один із аргументів F(x, y) прямує до +, то функція розподілу системи прямує до функції розподілу одного аргументу, що не прямує до +, а саме:

(124)

(125)

3. . (126)

4. (127)

5. F(x, y) є неспадною функцією аргументів х і у.

!

Доведення.

F(x2, y)  F(x1, y), x2 > x1.

Нехай А = (Х < x2, Y < y), B = (X < x1, Y < y), C = (x1< X < x2, Y < y) (рис. 63 а).

Рис. 63 a

Оскільки В С  , то А = В С (А = В + C).

Тоді Р(А) = Р(В С) = Р(В) + Р(С).

Узявши до уваги, що

дістанемо:

Аналогічно доведемо, що

F(x, y2)  F(x, y1), y2 > y1.

Позначимо тепер А = (Х < x, Y < y2), B = (X < x, Y < y1), C = (Х < x, у1 < У < у2) (рис 63 б).

Рис. 63 б

Оскільки В С = , то А = В СР(А) = Р(В С) = Р(В) + Р(С).

Loading...

 
 

Цікаве