WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Числові характеристики випадкових величин та їх властивості - Реферат

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості - Реферат

.

Отже, відхилення не може бути мірою розсіювання випадкової величини.

Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини

. (86)

Для дискретної випадкової величини Х дисперсія

; (87)

для неперервної

. (88)

Якщо Х  [а;b],

то . (89)

5. Властивості дисперсії

1. Якщо С — стала величина, то

. (90)

Справді

.

2. . (91)

Маємо:

3. Якщо А і В — сталі величини, то

. (92)

Адже

Дисперсію можна обчислити і за такою формулою:

(93)

!

Доведення. Згідно з (86) дістаємо:

Для дискретної випадкової величини Х

; (94)

для неперервної

. (95)

Якщо Х  [а;b], то

(96)

Слід пам'ятати, що дисперсія не може бути від'ємною величиною .

Отже, дисперсія характеризує розсіювання випадкової величини відносно свого математичного сподівання. Якщо випадкова величина виміряна в деяких одиницях, то дисперсія вимірюватиметься в цих самих одиницях, але в квадраті.

Тому доцільно мати числову характеристику такої самої вимірності, як і випадкова величина. Такою числовою характеристикою є середнє квадратичне відхилення.

Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини Х називають корінь квадратний із дисперсії:

. (97)

Приклад 8. Закон розподілу дискретної випадкової величини Х задано таблицею:

хі

– 4

– 2

1

2

4

6

рі

0,1

0,2

0,3

0,2

0,1

0,1

Обчислити D (X),  (X).

Розв'язання. Згідно з (94) маємо:

Приклад 9. Маємо чотири електролампочки, кожна з яких має дефект з імовірністю q = 0,1 (p = 1 – q = 0,9 — імовірність того, що в лампочці дефект відсутній). Послідовно беруть по одній лампочці, вгвинчують у патрон і вмикають електричний струм. Під час вмикання струму лампочка з дефектом перегорить, і її замінять на іншу. Побудувати закон розподілу дискретної випадкової величини Х — число лампочок, які будуть випробувані. Обчислити  (X).

Розв'язання. Дискретна випадкова величина Х — число лампочок, які будуть випробувані — набуває таких можливих значень:

Обчислимо відповідні ймовірності:

Адже четверта лампочка буде випробувана, коли третя перегорить, а четверта — ні, або коли й четверта перегорить.

У табличній формі закон розподілу Х матиме такий вигляд:

хі

1

2

3

4

рі

0,9

0,09

0,009

0,001

Далі виконуємо такі обчислення:

Приклад 10. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х задано функцією

Обчислити D (X);  (X).

Розв'язання. За заданою функцією розподілу ймовірностей подамо закон розподілу таблицею

хі

– 6

– 4

1

3

5

8

рі

0,1

0,2

0,1

0,2

0,2

0,2

Приклад 11. Задано щільність імовірностей:

Обчислити D (X);  (X). Знайти Мо; Ме.

Розв'язання.

Графік f (x) зображено на рис. 54.

Рис. 54

Оскільки є максимальним значенням, то

Знаходимо F(x) =

Отже,

Приклад 12. Задано щільність імовірностей (рис 55).

Рис. 55

Обчислити D (X);  (X); Mе. Знайти Мо.

Розв'язання. За умовою нормування знайти ординату точки В:

.

На проміжку [–2; 0] .

На [0; 4] .

Отже, щільність імовірностей

Знаходимо функцію розподілу ймовірностей:

На проміжку [–2; 0]

На [–2; 4]

=

Отже, функцію розподілу ймовірностей можна подати у вигляді

Графік F(x) зображено на рис. 56.

Рис. 56

Далі обчислюємо D (X):

Для визначення Ме необхідно знайти проміжок, в якому вона міститься. Оскільки то медіана належить проміжку [0; 4].

Далі маємо:

Отже, Ме = Мо = 0.

6. Початкові та центральні моменти

Узагальненими числовими характеристиками випадкових величин є початкові та центральні моменти.

Початковим моментом k-го порядку випадкової величини Х називають математичне сподівання величини Х k:

. (98)

Коли коли k = 2, і т. д.

Для дискретної випадкової величини Х

; (99)

для неперервної

. (100)

Якщо Х  [а;b], то

. (101)

Центральним моментом k-го порядку називається математичне сподівання від (ХМ(Х))k:

(102)

Коли

коли k = 2, ;

коли k = 3,

коли k = 4, .

Для дискретної випадкової величини

(103)

для неперервної

(104)

Якщо Х  [а; b], то

. (105)

7. Асиметрія і ексцес

Третій центральний момент характеризує асиметрію закону розподілу випадкової величини. Якщо 3 = 0, то випадкова величина Х симетрично розподілена відносно М (Х). Оскільки 3 має розмірність випадкової величини в кубі, то вводять безрозмірну величину — ко-ефіцієнт асиметрії:

. (106)

Центральний момент четвертого порядку використовується для визначення ексцесу, що характеризує плосковершинність, або гостровершинність щільності ймовірності f (x). Ексцес обчислюється за формулою

(107)

Зауважимо, що число 3 віднімається ось чому. Для центрального закону розподілу, так званого нормального закону, виконується рівність:

Отже, Еs = 0.

Для наочності при різних значеннях Аs, Es графіки f (x) зображені на рис. 57 i 58.

Рис. 57 Рис. 58

Приклад 13. Задано щільність імовірностей:

Обчислити Аs, Еs.

Розв'язання.

Оскільки 3 = 0, то і Аs = 0. Отже, можливі значення випадкової величини Х симетрично розподілені відносно М (Х) = 1. Для обчислення Еs необхідно знайти 4 і .

Приклад 14. За заданим законом розподілу ймовірностей

хі

– 8

– 4

–1

1

4

8

pі

0,1

0,2

0,2

0,2

0,2

0,1

oбчислити Аs, Еs.

Розв'язання. Скориставшись (103), (106) і (107), дістанемо:

Оскільки 3 = 0, то й Аs = 0;

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное приложение. — М.: Наука, 1988.

  2. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961.


 
 

Цікаве

Загрузка...