WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Числові характеристики випадкових величин та їх властивості - Реферат

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості - Реферат

Реферат на тему:

Числові характеристики випадкових величин та їх властивості

Закон розподілу ймовірностей як для дискретних, так і для неперервних випадкових величин дає повну інформацію про них. Проте на практиці немає потреби так докладно описувати ці величини, а достатньо знати лише певні параметри, що характеризують їх істотні ознаки. Ці параметри і називають числовими характеристиками випадкових величин.

1. Математичне сподівання

Однією з найчастіше застосовуваних на практиці характеристик є математичне сподівання.

Термін "математичне сподівання" випадкової величини Х є синонімом терміна "середнє значення" випадкової величини X.

Математичним сподіванням випадкової величини Х, визначеною на дискретному просторі Ω, називається величина

. (75)

Якщо Ω — обмежена множина, то

. (76)

Якщо простір Ω є неперервним, то математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х називається величина

. (77)

Якщо Ω = (– ; ), то

. (78)

Якщо Ω = [a; b], то

(79)

2. Властивості математичного сподівання

1. Математичне сподівання від сталої величини С дорівнює самій сталій:

М (С) = С. (80)

Справді, сталу С можна розглядати як випадкову величину, що з імовірністю, яка дорівнює одиниці, набуває значення С, а томуМ (С) = С  1 = С.

2. М (СХ) = СМ (Х). (81)

Для дискретної випадкової величини згідно із (75) маємо

.

Для неперервної:

3. Якщо А і В є сталими величинами, то

. (82)

Для дискретної випадкової величини:

.

Для неперервної випадкової величини:

Приклад 1. Закон розподілу дискретної випадкової величини задано таблицею:

хі

– 6

– 4

2

4

6

8

рі

0,1

0,1

0,2

0,3

0,1

0,2

Обчислити М (Х).

Розв'язання. Скориставшись (76), дістанемо

Приклад 2. За заданою щільністю ймовірностей

обчислити М (Х).

Розв'язання. Згідно із (79) маємо:

Приклад 3. Дано щільність імовірностей

Обчислити М (Х).

Розв'язання.

Приклад 4. За заданою функцією розподілу ймовірностей

Обчислити М (Х).

Розв'язання. Для обчислення М (Х) необхідно знайти щільність імовірностей

Тоді:

Якщо випадкова величина Х  [а; b], то М (Х)  [а; b], а саме: математичне сподівання випадкової величини має обов'язково міститься всередині інтервалу [а; b], являючи собою центр розподілу цієї величини.

3. Мода та медіана випадкової величини

Модою (Мo) дискретної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає найбільша ймовірність появи.

Модою для неперервної випадкової величини Х називають те її можливе значення, якому відповідає максимальне значення щільності ймовірності:

f (Mо) = max.

Якщо випадкова величина має одну моду, то такий розподіл імовірностей називають одномодальним; якщо розподіл має дві моди — двомодальним і т. ін. Існують і такі розподіли, які не мають моди. Їх називають антимодальними.

Медіаною (Ме) неперервної випадкової величини Х називають те її значення, для якого виконуються рівність імовірностей подій:

(83)

Отже, медіану визначають із рівняння (83).

Приклад 5. Робітник під час роботи обслуговує три верстати-автомати. Імовірність того, що верстат-автомат потребує уваги робітника за певний проміжок часу, — величина стала і дорівнює 0,8.

Побудувати закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Х — числа верстатів, які потребують уваги робітника за певний проміжок часу. Знайти Мо.

Розв'язання.

Можливі значення випадкової величини:

Х = 0, 1, 2, 3.

Імовірності цих можливих значень такі:

p1 = (0,2)3 = 0,008;

p2 = 3р q2 = 3  0,8  0,04 = 0,096;

p3 = 3p2q = 3  0,64  0,2 = 0,384;

p4 = p3 = (0,8)3 = 0,512.

Запишемо закон таблицею:

хі

0

1

2

3

рі

0,008

0,096

0,384

0,512

Із таблиці визначаємо Мo = 3.

Отже, дістаємо одномодальний розподіл.

Приклад 6. За заданою щільністю ймовірностей

Знайти а і F(x), Mo.

Розв'язання.

За умовою нормування маємо:

Щільність імовірностей зі знайденим а матиме вигляд

Графік f(x) зображено на рис. 53.

Рис. 53

Згідно з рис. 53 маємо f (1) = max. Отже, Мo = 1.

Визначаємо Мe:

Отже,

Для визначення Ме застосовуємо рівняння (83):

Ме можна знайти, скориставшись щільністю ймовірностей:

(84)

або при Х  [а; b]:

. (85)

Отже, Ме— можливе значення випадкової величини Х, причому таке, що пряма, проведена перпендикулярно до відповідної точки на площині Х = Ме, поділяє площу фігури, яка обмежена функцією f (x), на дві рівні частини.

4. Дисперсія та середнєквадратичне відхилення

Математичне сподівання не дає достатньо повної інформації про випадкову величину, оскільки одному й тому самому значенню М (Х) може відповідати безліч випадкових величин, які будуть різнитися не лише можливими значеннями, а й характером розподілу і самою природою можливих значень.

Приклад 7. Закони розподілу випадкових величин Х і Y задані таблицями:

хі

– 0,5

– 0,1

0,1

0,5

рі

0,4

0,1

0,1

0,4

уj

– 100

– 80

– 10

10

10

80

pj

0,1

0,2

0,2

0,2

0,1

0,2

Обчислити М (Х) і М (Y).

Розв'язання.

Отже, два закони розподілу мають однакові математичні сподівання, хоча можливі значення для випадкових величин Х і Y істотно різні. Із наведеного прикладу бачимо, що в разі рівності математичних сподівань (М (X) = М (Y) = 0) випадкові величини Х і Y мають тенденцію до коливань відносно М (X) та М (Y), причому Y має більший розмах розсіювання відносно М (Y), ніж випадкова величина Х відносно М (Х). Тому математичне сподівання називають центром розсіювання. Для вимірювання розсіювання вводиться числова характеристика, яку називають дисперсією.

Для визначення дисперсії розглядається відхилення випадкової величини Х від свого математичного сподівання (ХМ (Х))

Математичне сподівання такого відхилення випадкової величини Х завжди дорівнює нулю. Справді,

Loading...

 
 

Цікаве