WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Найпростіший потік подій - Реферат

Найпростіший потік подій - Реферат

Реферат на тему:

Найпростіший потік подій

1. Означення потоку подій

Послідовність подій, що відбуваються одна за одною у випадкові моменти часу, називається потоком подій.

Прикладами можуть бути потік викликів медичної швидкої допомоги, потік викликів на телефонну станцію, потік відказів у роботі певної системи і т. ін.

2. Найпростіший потік подій (пуассонівський)

Потік подій називається найпростішим, якщо для нього виконуються такі умови: стаціонарність, відсутність післядії і ординарність.

Потік подій називають стаціонарним, коли ймовірність того, що за проміжок часу відбудеться те чи інше число подій, залежить лише від довжини цього проміжку і не залежить від того, де міститься щодо початку відліку часу.

Якщо зазначена ймовірність не залежить від того, яке число подій відбулося до початку інтервалу такий потік називають потоком із відсутністю післядії.

Потік подій називають ординарним у разі, коли за малий проміжок часу імовірність того, що здійсниться одна подія, наближено пропорційна до довжини цього проміжку:

. (49)

При цьому Р1(0) = 0, а ймовірність того, що за цей проміжок відбудеться m > 1 подій, така:

,

де

. (50)

Згідно із (49) маємо:

, (51)

зокрема .

3. Формула Пуассона

Імовірність того, що за проміжок часу t + не відбудеться жодна подія, подається у вигляді:

(52)

Імовірність того, що за цей самий проміжок часу здійсниться m подій, визначається так:

(53)

оскільки .

Перенісши і в рівняннях (52), (53) у ліву частину, дістанемо таку систему рівнянь:

(54)

Поділимо ліву і праву частини системи рівнянь (54) на і виконаємо граничний перехід при . У результаті дістанемо систему лінійних диференціальних рівнянь:

;

. (55)

Для розв'язування системи (55) використаємо твірну функцію

. (56)

Розглянемо властивості функції А(х, t). При х = 1 А(1, t) = 1.

При х = 0 А(0, t) = p0(t), А(х, 0) = р0 (0) = 1,

. (57)

Помножимо друге рівняння системи (55) на хm і підсумуємо ліву та праву частини рівняння:

.

або з урахуванням (56)

. (58)

Розв'язавши диференціальне рівняння, дістанемо:

, (59)

оскільки А(х, 0) = р0(0) = 1.

Згідно з властивістю А(x, t) маємо:

;

.

Отже, імовірність того, що за час t відбудеться m випадкових подій, які утворюють найпростіший потік, обчислюється за формулою

, (60)

де — це інтенсивність найпростішого потоку, тобто: середнє число подій, які відбудуться за одиницю часу [с, хв, год].

Приклад. Автомобілі, що рухаються по шосе в одному напрямку, утворюють найпростіший потік із параметром (тобто, через умовну лінію, яка проведена перпендикулярно до шосе в певному місці, у середньому проїжджає 3 автомобілі за 1 с. Обчислити ймовірність того, що за 2 с через умовну лінію проїде: 1) 4 автомобілі; 2) не більш як 4.

Розв'язання. Із умови задачі:.

За таблицею (дод. 3), коли знаходять:

1) ;

2)

=

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное приложение. — М.: Наука, 1988.

  2. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961.

Loading...

 
 

Цікаве