WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі - Реферат

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі - Реферат

Реферат на тему:

Повторювані незалежні експерименти за схемою Бернуллі

Якщо кожний експеримент має лише два несумісні наслідки (події) зі сталими ймовірностями p і q, то їх називають експериментами за схемою Бернуллі. У кожному експерименті випадкова подія з імовірністю p відбувається, а з імовірністю q — не відбувається, тобто p + q = 1.

Простір елементарних подій для одного експерименту містить дві елементарні події, а для n експериментів за схемою Бернуллі —2n елементарних подій.

1. Формула Бернуллі

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів за схемою Бернуллі подія А з'явиться m раз, подається у вигляді

. (29)

Імовірність того, що в результаті n незалежних експериментів подія А з'явиться від mі до mj раз, обчислюється так:

. (30)

Оскільки

, (31)

дістанемо

; (32)

. (33)

Приклад 1. Імовірність того, що електролампочка не перегорить при ввімкненні її в електромережу, є величиною сталою і дорівнює 0,9.

Обчислити ймовірність того, що з п'яти електролампочок, увімкнених у електромережу за схемою, наведеною на рис. 14, не перегорять: 1) дві; 2) не більш як дві; 3) не менш як дві.

Рис. 14

Розв'язання. За умовою задачі маємо: р = 0,9; q = 0,1; n = 5; m = 2. Згідно з (29), (32), (33) дістанемо:

1) ;

2)

= q5 + 5p q4 + 10p2 q3 = (0,1)5 + 5 0,9 (0,1)4 + 10 (0,9)2 (0,1)3= = 0,00001 + 5 0,9  0,0001 + 10  0,81  0,001 == 0,00001 + 0,00045 + 0,0081 = 0,00856;

3)

.

Приклад 2. Робітник обслуговує шість верстатів-автоматів. Імовірність того, що протягом години верстат-автомат потребує уваги робітника, є величиною сталою і дорівнює 0,6. Яка ймовірність того, що за годину уваги робітника потребують: 1) три верстати; 2) від двох до п'яти верстатів; 3) принаймні один.

Розв'язання. За умовою задачі маємо: p = 0,6; q = 0,4; n = 6; m = 3; ; .

Згідно з (29), (30), (33), дістаємо:

  1. ;

=15 (0,6)2 (0,4)4 + 20 (0,6)3 (0,4)3 + 15 (0,6)4 (0,4)2+ 6 (0,6)5 0,4 == 15  0,36  0,0256 + 20  0,216  0,064 + 15  0,1296  0,16 + 6  0,07776  0,4 == 0,13824 + 0,27648 + 0,31104 + 0,186624 = 0,902384;

3) = .

2. Найімовірніше число появи випадкової події (мода)

Найімовірнішим числом появи випадкової події А в результаті n незалежних експериментів за схемою Бернуллі називається таке число m0, для якого ймовірність Рn (m0) перевищує або в усякому разі є не меншою за ймовірність кожного з решти можливих наслідків експериментів.

Приклад. Імовірність появи випадкової події А в кожному зn = 8 незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює р = 0,5 (q = 1 – р = 0,5). Обчислити ймовірності подій для m = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Значення обчислених імовірностей наведено в таблицi:

m

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Із таблиці бачимо, що при m = 4 імовірність набуває найбільшого значення, а саме . Отже, найімовірніше число появи події є m0 = 4.

Зауважимо, що для визначення найімовірнішого числа появи події немає потреби обчислювати ймовірності для різних можливих значень .

Справді, запишемо формули для обчислення ймовірностей при значеннях m = m0; m = m0 –1; m = m0 + 1 і розглянемо їх відношення:

; (а)

. (б)

Об'єднавши нерівності (а) і (б), дістанемо:

. (34)

Число m0 називають також модою.

Приклад 1. У разі додержання певної технології 90% усієї продукції, виготовленої заводом, є найвищого сорту. Знайти найімовірніше число виробів найвищого сорту в партії з 200 штук.

Розв'язання. За умовою задачі n = 200; р = 0,9; q = 1 – р = 0,1.

Використовуючи подвійну нерівність (34), дістаємо:

.

Отже, найімовірніше число виробів першого сорту серед 200 дорівнює 180.

Приклад 2. Імовірність того, що студент складе іспит з математики, є величиною сталою і дорівнює в середньому 0,8. Нехай є група з восьми студентів. Знайти найімовірнішу кількість членів цієї групи котрі складуть іспит з математики, і обчислити відповідну ймовірність.

Розв'язання. За умовою задачі n = 8; p = 0,8; q = 0,8.

Отже, ; .

Доходимо висновку: найімовірніша кількість студентів, які складуть екзамен, m0 = 7. Відповідна ймовірність дорівнює 0,524288.

Обчислення ймовірностей за формулою Бернуллі при великих значеннях n і m пов'язане з певними труднощами. Щоб уникнути їх, застосовують асимптотичні формули, що випливають з локальної та інтегральної теорем Муавра—Лапласа.

3. Локальна теорема

Якщо ймовірність появи випадкової події в кожному з n незалежних експериментів є величиною сталою і дорівнює , то для великих значень n і m імовірність того, що випадкова подія А настане m раз, подається такою асимптотичною формулою:

, (35)

де ℮ називається функцією Гаусса. Функція Гаусса протабульована, і її значення наведено в дод. 1, де

. (36)

Тут x є рівномірно обмеженою величиною відносно n і m.

!

Доведення. Із (36) випливає, що

; (37)

. (38)

Очевидно, що при вирази (37), (38) прямують до нескінченності.

Із (37), (38) маємо:

; (39)

. (40)

Із (39), (40) випливає, що за досить великих значень n

m np, n – m nq. (41)

Для доведення теореми скористаємося формулою Стірлінга:

℮–k . (42)

Використовуючи (42) для формули Бернуллі, дістаємо:

де А = . (43)

Коли n  ∞, маємо:

.

Для дослідження поводження А при n  ∞ прологарифмуємо (43)

. (44)

Розклавши логарифмічні функції у виразі (44) у ряд Тейлора і обмежившись двома членами ряду, скористаємося (37) і (38):

При маємо:

Отже,

,

а для великих, хоча й обмежених значень n

,

що й потрібно було довести.

Властивості функції Гаусса:

1) визначена на всій осі абсцис; ;

2) є функцією парною: ;

3) ;

4) ; ;

; ; отже, — максимум функції Гаусса;

5) .

Таким чином, х1 = –1, х2 = 1 будуть точками перегину. При цьому

; ; .

Графік функції Гаусса зображено на рис. 15.

Рис. 15

Зауважимо, що розв'язуючи задачі, додержують такого правила:

; .

Отже, практично використовуються значення функції Гаусса для , що показано на графіку функції Гаусса (рис. 16).

Рис. 16

Приклад 1. Фабрика випускає 75% виробів 1-го сорту. Із партії готових виробів навмання беруть 400 деталей. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) виробів 1-го сорту виявиться 290 шт.;

2) 300 шт.;

3) 320 шт.

Розв'язання. За умовою задачі маємо:

n = 400; p = 0,75; q = 0,25; m = 290; 300; 320.

1) ; ;

;

;

Loading...

 
 

Цікаве