WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Залежні та незалежні випадкові події. умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей - Реферат

Залежні та незалежні випадкові події. умовна ймовірність, формули мно-ження ймовірностей - Реферат

Реферат на тему:

Залежні та незалежні випадкові події. умовна ймовірність, формули множення ймовірностей

1. Залежні та незалежні випадкові події

Випадкові події А і В називають залежними, якщо поява однієї з них (А або В) впливає на ймовірність появи іншої.

У противному разі випадкові події А і В називаються незалежними.

Приклад 1. В урні міститься 10 однакових кульок, із них 6 чорних і 4 білих. З урни навмання беруть дві кульки по одній без повернення. З'ясувати, чи удуть залежними такі події: перша кулька виявиться чорною і друга також.

Розв'язання. Позначимо через А появу чорної кульки при першому вийманні, а через В — при другому. Випадкові події А і В будуть залежними, оскільки поява чорної кульки при першому її вийманні з урни (випадкова подія А) впливатиме на ймовірність появи чорної кульки (випадкова подія В) при другому вийманні.

Приклад 2. З урни, де шість білих і чотири чорні кульки, вийняли дві кульки по одній, при цьому перша кулька в урну повертається.

З'ясувати, чи будуть залежними такі події: перша виявиться чорною, друга також.

Розв'язання. Нехай А — поява чорної кульки при першому вийманні, а В — при другому. Поява чорної кульки при першому вийманні (здійснилась подія А) не впливатиме на ймовірність появи чорної кульки (подія В) при другому вийманні, оскільки співвідношення між чорними та білими кульками в цьому разі не змінюється.

2. Умовна ймовірність та її властивість

Якщо ймовірність випадкової події А обчислюється за умови, що подія В відбулася, то така ймовірність називається умовною. Ця ймовірність обчислюється за формулою

, . (17)

Аналогічно

, . (18)

1. Р (А / В) = 0, якщо АВ = .

2. Р (А / В) = 1, якщо АВ = В.

3. У решті випадків 0 < Р(А / В) < 1.

Приклад 1. Задана множина цілих чисел. Ώ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Навмання беруть одне число. Яка ймовірність того, що це число виявиться кратним 3, коли відомо, що воно є непарним?

Розв'язання. Нехай подія А — поява числа кратного 3, В — кратного 2.

Тоді А = (3, 6, 9, 12), m1 = 4;

В = (2, 4, 6, 8, 10, 12), m2 = 6;

АВ = (6, 12), m3= 2;

; ; ; Р (А / В) = .

Оскільки , то події А і В є залежними.

Умовну ймовірність Р (А / В) для цієї задачі можна обчислити й інакше. За умовою задачі відомо, що взяте навмання число, є непарним, тобто в цьому разі ми дістали додаткову інформацію: із множини Ώ беруться лише непарні числа. Отже, простір елементарних подій тепер має вигляд

, .

Елементарні події, що сприяють появі А, — появі числа, кратного 3, утворюють множину , .

Отже,

.

Приклад 2. Відомі значення:

;

З'ясувати, чи є залежними випадкові події А і В.

Розв'язання.

.

Оскільки то випадкові події А і В є залежними.

3. Формули множення ймовірностей для залежних випадкових подій

Згідно із (17) і (18) маємо:

Р (А В) = Р (В) Р (А / В) = Р (А) Р (В / А). (19)

Формула множення для n залежних випадкових подій А1,А2, ... А4:

Р = Р (А1) Р(А2 / А1) Р(А3 / А1А2) ... Р(Аn/ А1А2 ... Аn–1) (20)

Приклад 1. У ящику міститься 15 однотипних деталей. Із них 9 стандартні, а решта — браковані. Деталі виймають по одній без повернення. Так було вийнято три деталі. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) А — три деталі виявляться стандартними;

2) В — усі три виявляться бракованими;

3) С — дві стандартні й одна бракована.

Розв'язання. Нехай Аі — поява стандартної, — бракованої деталі при і-му вийманні.

Подія , ,

.

Оскільки випадкові події Аі, є залежними, то:

Р(А) = Р(А1∩А2∩А3) = Р(А1) Р(А2 / А1) Р(А3 / А1А2) = ;

.

.

Приклад 2. Із множини чисел Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 навмання беруть одне число, а далі з решти — друге. Яка ймовірність того, що здобуте двоцифрове число буде парним?

Розв'язання. Позначимо через А1 — поява непарної цифри при першому вийманні, через В1 — поява парної цифри при першому, а через В2 — появу парної цифри при другому вийманні.

Нехай С — випадкова подія: поява парного двоцифрового числа.

Тоді С = (А1∩В2)  (В1∩В2).

Оскільки випадкові події А1, В1, В2 є залежними, то

Р (С) = Р (А1∩В2)  (В1∩В2) = Р(А1∩В2) + Р (В1∩В2) =

= Р (А1) Р (В2 / А1) + Р (В1) Р (В2 / В1) = .

4. Формули множення ймовірностей для незалежних випадкових подій

Якщо випадкові події А і В є незалежними, то Р(А / В) = Р(А), Р(В / А) = Р(В).

Формули (19), (20) наберуть такого вигляду:

Р(АВ) = Р(А) Р(В); (21)

. (22)

Приклад 1. Гральний кубик і монету підкидають по одному разу. Яка ймовірність того, що при цьому на грані кубика випаде число, кратне 3, а на монеті герб?

Розв'язання. Нехай поява числа, кратного трьом — подія А, а поява герба — подія В. Випадкові події А і В є між собою незалежними. Отже,

; .

Приклад 2. Три студенти складають на сесії екзамен з математики. Імовірність того, що перший складе екзамен, дорівнює 0,9, для другого та третього студентів ця ймовірність становить відповідно 0,8 і 0,7.

Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

1) А — три студенти складуть екзамен;

2) В — три студенти не складуть екзамену;

3) С — два студенти складуть екзамен.

Розв'язання. Позначимо А1, А2, А3 — випадкові події, які полягають у тому, що перший, другий і третій студенти складуть екзамен з математики. Тоді — відповідно не складуть. За умовою задачі маємо:

Р(А1) = 0,9, Р(А2) = 0,8, Р(А3) = 0,7.

Тоді ймовірності протилежних подій такі:

Р() = 1 – Р(А1) = 1 – 0,9 = 0,1;

Р() = 1 – Р(А2) = 1 – 0,8 = 0,2;

Р() = 1 – Р(А3) = 1 – 0,7 = 0,3

Позначимо події: , ,

.

Оскільки випадкові події Аі, (і = 1, 2, 3) є між собою незалежними, то

Р(А) = Р(А1∩А2∩А3) = Р(А1) Р(А2) Р(А3) = 0,9 0,8 0,7 = 0,504;

Р(В) = Р() = Р() Р() Р() = 0,1 0,2 0,3 = 0,006;

.

5. Імовірність появи випадкової події принаймні один раз при nнезалежних спробах

Нехай проводиться n незалежних спроб, у кожній з яких може відбутися подія Аі (і =1, 2, 3, ... n) з імовірністю Р(Аі) = pі або подія з імовірністю , .

Нехай С — поява події Аі хоча б один раз при n незалежних спробах, тобто ця подія може з'явитися або один раз, або двічі, тричі і так далі, включаючи всі n раз. Тоді подія С і подія, яка полягає в тому, що при n спробах Аі не з'явиться жодного разу , утворюють повну групу, а саме: . При цьому .

Тоді ;

.

Отже,

. (23)

Якщо Р(Аі) = pі = p = const, то qі = q = const.

Тоді

Р(С) = 1 – qn. (24)

Loading...

 
 

Цікаве