WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основні поняття теорії ймовірностей - Реферат

Основні поняття теорії ймовірностей - Реферат

Розв'язання. Множина Ω містить елементарних подій. Позначимо через А появу чотирьох стандартних деталей. Кількість елементарних подій, що сприяють появі А: . Позначимо через В появу чотирьох бракованих деталей. Кількість елементарних подій, що сприяють появі В, .

Згідно з (6) дістанемо:

.

Наслідки аксіом

1. Якщо випадкові події А1, А2, А3, ... Аn є несумісними попарно, то

. (7)

2. Якщо випадкові події А1, А2, А3, ... Аn утворюють повну групу, то

. (8)

Із рівності А = Ω і аксіом 3, 4 випливає, що

. (9)

Якщо , то

. (10)

Справді:

, то

). (11)

Оскільки

і при цьому = , то

Отже,

.

3. Формула додавання для n сумісних випадкових подій має такий вигляд:

(12)

Наприклад, для трьох сумісних випадкових подій формулу (12) можна записати так:

. (13)

4. Якщо випадкова подія А сприяє появі , то

. (14)

Приклад 1. В урні містяться 30 однакових кульок, які пронумеровані від 1 до 30. Навмання із урни беруть одну кульку. Яка ймовірність того, що номер кульки виявиться кратним 3 або 5?

Розв'язання. Кількість усіх елементарних подій множини Ω n = 30.

Позначимо через А = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 (m1 = 10) —появу кульки з номером, кратним 3, а через В = 5, 10, 15, 20, 25, 30 (m2 = 6) — появу кульки із номером, кратним 5.

є подіями сумісними.

Згідно з (10) дістанемо

.

Приклад 2. Чотири спортсмени мають виконати норму майстра спорту. Кожний із них може виконати її із певною ймовірністю. Яка ймовірність того, що із чотирьох спортсменів норму майстра спорту виконують не менш як два спортсмени; не більш як три?

Розв'язання. Позначим через А1 А2 А3 А4 випадкові події, що відповідно перший, другий, третій та четвертий спортсмени виконають норму майстра, а через — відповідно випадкові події, що перший, другий, третій та четвертий спортсмени не виконають норму. Тоді простір елементарних подій для цього експерименту буде:

 = А1 А2 А3 А4, А1 А2 А3, А1 А2А4, А1А3 А4, А2 А3 А4, А1 А2, А3 А4, А2А4, А1А3, А1А4, А2 А3, А1, А2, А3, А4, , n = 16.

Випадкові події:

А = А1 А2, А3 А4, А1А3, А2А4, А1А4, А2 А3, А2 А3 А4, А1А3 А4, А1 А2А4, А1 А2 А3, А1 А2 А3 А4, m1 = 11;

В = А1 А2 А3, А1 А2А4, А1А3 А4, А2 А3 А4, А1 А2, А3 А4, А2А4, А1А3, А1А4, А2 А3, А1, А2, А3, А4, , m2 = 15;

АВ = А1 А2 А3, А1 А2А4, А1А3 А4, А2 А3 А4, А1 А2, А3 А4, А2А4, А1А3, А1А4, А2 А3, m3 = 10.

Шукана ймовірність:

.

Приклад 3. Випадкові події А1, А2, А3, А4 є попарно несумісними і утворюють повну групу. Знайти Р (А1), Р (А2), Р (А3), Р (А4), коли відомо, що Р (А1) = 0,2 Р (А2), Р (А2) = 0,8Р (А3), Р (А3) = 0,5 Р (А4).

Розв'язання. Оскільки випадкові події А1, А2, А3, А4 є попарно несумісними і утворюють повну групу, то згідно з (8) дістаємо:

.

За умовою задачі знаходимо:

Р (А2) = 0,8 Р (А3) = 0,8  0,5 Р (А4) = 0,4 Р (А4).

Р (А1) = 0,2 Р (А2) = 0,2  0,4 (А4) = 0,08 Р (А4).

Отже,

0,08 Р (А4) + 0,4 Р (А4) + 0,5 Р (А4) + Р (А4) = 1;

;

;

;

.

6. Геометрична ймовірність

Класичне означення ймовірності придатне лише для експериментів з обмеженим числом рівномірних елементарних подій, тобто коли множина Ώ (простір елементарних подій) обмежена.

Якщо множина Ώ є неперервною і квадровною, то для обчислення ймовірності А (А  Ώ) використовується геометрична ймовірність

. (15)

Якщо множина Ώ вимірюється в лінійних одиницях, то Р (А) дорівнюватиме відношенню довжини, якщо Ώ вимірюється у квадратних одиницях, то Р (А) дорівнюватиме відношенню площ, і т. ін.

Приклад 1. По трубопроводу між пунктами А і В перекачують нафту. Яка ймовірність того, що пошкодження через певний час роботи трубопроводу станеться на ділянці довжиною 100 м.

Розв'язання. Простір елементарних подій Ώ = , тоді (А  Ώ).

Згідно з (12) маємо:

.

Приклад 2. Задана множина Ώ = (0  хе, 0  у  1). Яка ймовірність того, що навмання взяті два числа (х, у) утворять координати точки, яка влучить в область А = (1 хе, 0  у  ln х)?

Розв'язання. Множини Ώ і А зображені на рис. 5.

Рис. 5

.

7. Статистична ймовірність

На практиці обчислити ймовірності випадкових подій можна лише для обмеженого класу задач як для дискретних, так і для неперервних просторів елементарних подій (множини Ώ). Для більшості задач, особливо економічних, обчислити ймовірності практично неможливо. У цьому разі використовується статистична ймовірність.

Насамперед уводиться поняття відносної частоти випадкової події W (A).

Відносною частотою випадкової подіїАW(A) називається відношення кількості експериментів m, при яких подія А спостерігалася, до загальної кількості n проведених експериментів:

. (16)

Як і для ймовірності випадкової події, для відносної частоти виконується нерівність

.

Теорія ймовірностей вивчає лише такі випадкові події, в яких спостерігається стабільність відносних частот, а саме: у разі проведення k серій експериментів існує така константа Р(А), навколо якої групуватимуться відносні частоти досліджуваної випадкової події А, тобто Wі (А). І це групування буде тим ближчим до цієї константи, чим більшим буде число n експериментів.

На рис. 6 показано, як Wі (А) змінюється зі збільшенням n експериментів.

Рис. 6

Імовірність випадкової події визначається так: упевнившись, що існує стабільність відносних частот випадкової події Wі (А), задаємось малим додатним числом  і проводимо серії експериментів, збільшуючи їх число n. Якщо на якомусь кроці серії експериментів виконуватиметься нерівність , то за ймовірність випадкової події береться одне з чисел Wі або Wі – 1. Ця ймовірність називається статистичною.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерное приложение. — М.: Наука, 1988.

  2. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука, 1961.

Loading...

 
 

Цікаве