WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основні поняття теорії ймовірностей - Реферат

Основні поняття теорії ймовірностей - Реферат

Оскільки , то при n = 1 маємо

1! = 0!

Отже, 0! = 1.

Приклад 1. На кожній із шести однакових карток записано одну з літер

Я, І, Р, Е, О, Т.

Яка ймовірність того, що картки, навмання розкладені в рядок, утворять слово

Т

Е

О

Р

І

Я

?

Розв'язання. Кількість усіх елементарних подій (елементів множини Ω)

n = 6! = 6  5  4  3  2  1 = 720.

Кількість елементарних подій, що сприяють появі слова ТЕОРІЯ,m = 1. Позначивши розглядувану подію через В, дістанемо:

.

Приклад 2. Задано множину цілих чисел Ω = 1, 2, 3, 4, 5. Її елементи навмання розставляють у рядок. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

А — розставлені в ряд числа утворюють зростаючу послідовність;

В — спадну послідовність;

С — цифра 1 стоятиме на першому місці, а 5 — на останньому;

D — цифри утворять парне п'ятицифрове число.

Розв'язання. Простір елементарних подій для цього експерименту міститиме n = 5! = 1  2  3  4  5 = 120 несумісних, рівноймовірних елементарних подій.

Кількість елементарних подій, що сприяють появі А, дорівнює одиниці (m1 = 1).

Кількість елементарних подій, що сприяють появі В, дорівнює одиниці (m2 = 1).

Для випадкової події Сm3 = 3!

Для випадкової події Dm4= 4! 2 = 48.

Обчислюємо: ; ;

; .

Розміщення. Розміщенням із n елементів по m (0) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом.

Кількість таких множин обчислюється за формулою

. (4)

Наприклад, .

Приклад 1. Маємо дев'ять однакових за розміром карток, на кожній з яких записано одну з цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Навмання беруть чотири картки і розкладають в один рядок. Яка ймовірність того, що при цьому дістанемо

1

9

7

3

?

Розв'язання. Кількість елементарних подій множини  буде .

Кількість елементарних подій, що сприяють появі 1, 9, 7, 3, дорівнює одиниці (m = 1). Позначимо цю випадкову подію через В. Тоді

.

Приклад 2. У кімнаті перебувають 10 студентів. Яка ймовірність того, що два і більше студентів не мають спільного дня народження?

Розв'язання. Вважаємо, що рік має 365 днів. Для кожного студента в загальному випадку існує 365, а для 10 студентів — 36510 можливих днів народження. Отже, маємо n = 36510 елементарних подій множини Ω. Позначимо через В випадкову подію, яка полягає в тому, що дні народження студентів не збігаються. Кількість елементарних подій, що сприяють появі В, .

Остаточно маємо: .

Комбінації. Комбінаціями з n елементів по називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом.

Кількість таких множин

. (5)

Приклад 1. У цеху працює 10 верстатів-автоматів, кожний із яких може з певною ймовірністю перебувати в роботоздатному стані або в стані поломки. Яка ймовірність того, що під час роботи верстатів-автоматів із ладу вийдуть три з них?

Розв'язання. Оскільки кожний верстат-автомат може перебувати у двох несумісних станах — роботоздатному або нероботоздатному, то кількість усіх елементарних подій множини Ω буде n = 210.

Позначимо через А випадкову подію — із ладу вийде три верстати з десяти. Тоді кількість елементарних подій, що сприяють появі А, буде

.

Отже,

.

Приклад 2. У шухляді міститься 10 одинотипних деталей, 6 із яких є стандартними, а решта бракованими. Навмання із шухляди беруть чотири деталі. Обчислити ймовірність таких випадкових подій:

А — усі чотири деталі виявляються стандартними;

В — усі чотири деталі виявляються бракованими;

D — із чотирьох деталей виявляються дві стандартними і дві бракованими.

Розв'язання. Кількість усіх елементарних подій множини Ω

;

кількість елементарних подій, що сприяють події А:

;

кількість елементарних подій, що сприяють появі В:

;

кількість елементарних подій, що сприяють появі D:

.

Обчислимо ймовірності цих подій:

;

;

.

5. Аксіоми теорії ймовірностей та їх наслідки

Загалом функції дійсних змінних бувають визначеними не на всій множині дійсних чисел, а лише на певній її підмножині, яку називають областю визначення функції.

Імовірність також не завжди можна визначити для будь-яких підмножин множини Ω (простору елементарних подій). Тому доводиться обмежуватися певним класом підмножин, до якого висуваються вимоги замкненості відносно операцій додавання, множення та віднімання.

Нехай задано довільний простір елементарних подій — множину Ω і  — деяка система випадкових подій.

Система подій називається алгеброю подій, якщо:

1. Ώ  .

2. Із того, що А  , В  , випливає: що АВ   , АВ  , А В  .

Із тверджень 1 і 2 дістаємо, що = Ώ Ώ, а отже,  . Найменшою системою, яка буде алгеброю подій, є  = (, Ώ). Якщо Ώ — обмежена множина, то система  також буде обмеженою. Якщо множина містить n елементів, то кількість усіх підмножин буде 2n.

Якщо Ω є неперервною множиною, то система  утворюється квадровними підмножинами множини Ω, які також утворюють алгебру подій.

Числова функція Р, що визначена на системі подій , називається ймовірностю, якщо:

1.  є алгеброю подій.

2. Для будь-якого А   існує .

3. Р (Ω) = 1.

4. Якщо А і В є несумісними (АВ = ), то

. (6)

Для розв'язування задач з нескінченними послідовностями подій, наведені аксіоми необхідно доповнити аксіомою неперервності.

5. Для будь-якої спадної послідовності подій із , такої, що , випливає рівність

.

Трійка (, Ω, Р), де  є алгеброю подій і Р задовольняє аксіоми 1—5, називається простором імовірностей.

Приклад 1. Задано множину цілих чисел Ω = 1, 2, ..., 30. Навмання з цієї множини беруть одне число. Яка ймовірність того, що воно виявиться кратним 5 або 7?

Розв'язання. Простір Ω містить n = 30 елементарних подій.

Позначимо через А подію, що полягає в появі числа, кратного 5, а через В у появі числа, кратного 7. Тоді дістанемо:

;

;

.

Згідно з (6) маємо:

.

Приклад 2. Садівник восени посадив 10 саджанців яблуні. Кожний із саджанців може прийнятись або не прийнятись із певною ймовірністю. Яка ймовірність того, що з 10 саджанців навесні наступного року приймуться 6 або 2?

Розв'язання. Множина Ω містить n = 210 елементарних подій. Нехай А — випадкова подія, яка полягає в тому, що число саджанців, котрі проросли, дорівнює 6; В — число саджанців, що проросли, дорівнює 2.

Кількість елементарних подій, які сприяють появі А:

.

Кількість елементарних подій, що сприяють появі В:

.

Оскільки АВ = , маємо:

.

Приклад 3. У ящику міститься 13 однакових деталей, серед яких 5 є бракованими, а решта — стандартними. Навмання з ящика беруть чотири деталі. Яка ймовірність того, що всі чотири деталі виявляться стандартними або бракованими?

Loading...

 
 

Цікаве