WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основні поняття теорії ймовірностей - Реферат

Основні поняття теорії ймовірностей - Реферат

Для дискретного простору Ω перші два твердження можна записати так: 1) ωіωj = , іј; 2) = Ω.

Для кількісного вимірювання появи випадкових подій і їх комбінацій уводиться поняття ймовірності події, що є числом такої ж природи, як і відстань у геометрії або маса в теоретичній механіці.

3. Класичне означення ймовірності

Імовірністю випадкової подіїА називається невід'ємне число Р(А), що дорівнює відношенню числа елементарних подій m (0m n), які сприяють появі А, до кількості всіх елементарних подій n простору Ω:

Р (А) = . (1)

Для неможливої події Р () = 0 (m = 0);

Для вірогідної події Р (Ω) = 1 (m = n).

Отже, для довільної випадкової події

. (2)

Приклад 1. У ящику міститься 15 однотипних деталей, із яких 6 бракованих, а решта — стандартні. Навмання з ящика береться одна деталь. Яка ймовірність того, що вона буде стандартною?

Розв'язання. Число всіх рівноможливих елементарних подій для цього експерименту:

n = 15.

Нехай А — подія, що полягає в появі стандартної деталі. Число елементарних подій, що сприяють появі випадкової події А, дорівнює дев'яти (m = 9). Згідно з (1) маємо:

.

Приклад 2. Гральний кубик підкидають один раз. Яка ймовірність того, що на грані кубика з'явиться число, кратне 3?

Розв'язання. Число всіх елементарних подій для цього експерименту n = 6. Нехай В — поява на грані числа, кратного 3. Число елементарних подій, що сприяють появі В, дорівнює двом (m = 2).

Отже,

.

Приклад 3. Два гральні кубики підкидають по одному разу. Побудувати простір елементарних подій — множину Ώ і такі випадкові події:

А — сума цифр виявиться кратною 4;

В — сума цифр виявиться кратною 3.

Обчислити Р (А), Р (В), Р (АВ).

Розв'язання. Простір елементарних подій — множину  запишемо у вигляді таблиці:

Кубик 2-й

Кубик 1-й

1

2

3

4

5

6

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

2

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

3

3,1

3,2

3,3

3,4

3,5

3,6

4

4,1

4,2

4,3

4,4

4,5

4,6

5

5,1

5,2

5,3

5,4

5,5

5,6

6

6,1

6,2

6,3

6,4

6,5

6,6

Отже, простір елементарних подій  містить n = 36 пар чисел.

Події А і В визначимо з допомогою побудованої таблиці так: елементарні події, які сприяють появі А (сума цифр кратна 4), заштриховані вертикальними лініями, а для В (сума кратна 3) — горизонтальними лініями. Звідси маємо: число елементарних подій, що сприяють появі А, дорівнює дев'яти (m1 = 9), а число елементарних подій, що сприяють появі В, — дванадцяти (m2 = 12), число елементарних подій, що сприяють появі події АВ, дорівнює одиниці (m3 = 1) (темні клітинки таблиці).

Остаточно дістаємо:

.

Приклад 4. У кожній із трьох урн містяться червоні та сині кульки. Із кожної урни навмання беруть по одній кульці. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту — множину  і такі випадкові події:

А — серед трьох навмання взятих кульок дві виявляються червоного кольору;

В — серед трьох кульок дві виявляються синього кольору. Обчислити Р (А), Р (В), Р (АВ).

Розв'язання. Позначимо появу кульки червоного кольору як Ч, а синього кольору як С. Тоді простір елементарних подій буде такий: = ЧЧЧ, ЧЧС, ЧСЧ, СЧЧ, ЧСС, СЧС, ССЧ, ССС, n = 8.

Події: А = ЧЧС, ЧСЧ, СЧЧ, m1 = 3;

В = ССЧ, СЧС, ЧСС, m2 = 3.

Події А і В є несумісними (АВ = ).

Обчислюємо: ; ; Р (АВ) = 0.

Приклад 5. В електричну мережу увімкнено чотири електролампочки. При проходженні електричного струму в мережі кожна електролампочка із певною ймовірністю може перегоріти або не перегоріти. Побудувати простір елементарних подій (множину ) — числа електролампочок, які не перегорять, і такі випадкові події:

А — із чотирьох електролампочок перегорять не більш як дві;

В — не менш як три. Обчислити Р (А), Р (В), Р (АВ).

Розв'язання. Нехай Аi (і = ) відповідно першу, другу, третю та четверту електролампочку, що не перегорять, а — що перегорять. Тоді простір елементарних подій буде:

 = А1 А2 А3 А4, А1 А2 А3 А1 А2А4, А1А3 А4, А2 А3 А4, А1 А2, А3 А4, А2А4, А1А3, А1А4, А2 А3, А1, А2, А3, А4, , n = 16.

Випадкові події:

А = А1 А2, А3 А4, А1А3, А2А4, А1А4, А2 А3, А2 А3 А4, А1А3 А4, А1 А2А4, А1 А2 А3, А1 А2 А3 А4, m1 = 11.

В = А1 А2, А3 А4, А1А3, А2А4, А1А4, А2 А3, А1, А2, А3, А4, , m2 = 11.

АВ = А1 А2, А3 А4, А1А3, А2А4, А1А4, А2 А3, m3 = 6.

; ; .

4. Елементи комбінаторики в теорії ймовірностей: переставлення, розміщення та комбінації

При розв'язуванні задач з теорії ймовірностей побудувати простір елементарних подій (множину ) можна не завжди.

Для більшості прикладних задач така побудова пов'язана з виконанням великого обсягу робіт, а нерідко й взагалі неможлива. Щоб обчислити ймовірність тієї чи іншої випадкової події для певного класу задач із дискретним і обмеженим простором елементарних подій, необхідно вміти обчислити кількість n усіх елементарних подій (елементів множини ) і число m елементарних подій, які сприяють появі випадкової події.

Існує клас задач, в яких для обчислення n і m використовуються елементи комбінаторики: переставлення, розміщення та комбінації. У комбінаториці оперують множинами однотипних елементів.

Загалом множини бувають упорядковані та невпорядковані.

Множину називають упорядкованою, якщо при її побудові істотним є порядок розміщення елементів.

У противному разі множину називають невпорядкованою.

Переставлення. Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення.

Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою

, (3)

де n набуває лише цілих невід'ємних значень.

Loading...

 
 

Цікаве