WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Основні поняття теорії ймовірностей - Реферат

Основні поняття теорії ймовірностей - Реферат

Елементарні випадкові події іA, jB, kC, які належать відповідно складеним випадковим подіям А, В, С, тобто є елементами цих множин, називають елементарними подіями, які сприяють появі кожної із зазначених подій унаслідок проведення експерименту (і сприяють появі події А, j — події В, k — події С).

Кожному експерименту (спробі) з випадковими результатами (наслідками) відповідає певна множина  елементарних подій i, кожна з яких може відбутися (настати) внаслідок його проведення: і  . Множину називають простором елементарних подій.

Приклад 5. Гральний кубик, кожна грань якого позначена певною цифрою від 1 до 6, підкидають один раз. При цьому на грані випадає одна із зазначених цифр. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту (множину Ώ) і такі випадкові події: 1) А — випаде число, кратне 2;2) В — випаде число, кратне 3.

Розв'язання. Оскільки кубик має шість граней, то в результаті експерименту може випасти одна із цифр від 1 до 6.

Отже, Ώ = 1, 2, 3, 4, 5, 6; 1) А = 2, 4, 6; 2) В = 3, 6.

Приклад 6. Монету підкидають чотири рази. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту і такі випадкові події:

1) А — герб випаде двічі; 2) В — герб випаде не менш як тричі.

Розв'язання. Шуканий простір елементарних подій:

Ώ = гггг, гггц, ггцг, гцгг, ццгг, ггцц, гццг, гцгц, цгцг, ццгг, цггц, гццц, цгцц, ццгц, цццг, цццц;

1) А = ггцц, ццгг, гцгц, цгцг, гццг, цггц;

2) В = гггг, гггц, ггцг, гцгг, цггг).

Простір елементарних подій може бути як дискретним, так і неперервним. Якщо множина є зчисленною (зліченною), тобто всі її елементи можна перелічити або принаймні пронумерувати (кожній елементарній події поставити у відповідність один і тільки один елемент нескінченної послідовності натуральних чисел 1, 2, 3, ...), то простір елементарних подій називають дискретним. Він може бути обмеженим і необмеженим.

У противному разі (тобто коли кожній елементарній події не можна поставити у взаємно однозначну відповідність певне натуральне число) простір елементарних подій називають неперервним.

У розглянутих раніше прикладах простори елементарних подій були дискретними.

Приклади неперервних (недискретних) просторів елементарних подій дістанемо, розглянувши:

1) розміри однотипних деталей (діаметр, довжина), що їх виготовляє робітник або верстат-автомат;

2) покази приладів, що вимірюють масу, силу струму, напругу, опір і т. ін.

Отже, поняття елементарної події, простору елементарних подій є основними в теорії ймовірностей, як точка та пряма в аксіоматично побудованій евклідовій геометрії. Сама природа елементарних подій у теорії ймовірностей при цьому неістотна.

Простір елементарних подій є математичною моделлю певного ідеалізованого експерименту в тому розумінні, що будь-який можливий його наслідок описується однією і лише однією елементарною подією — наслідком експерименту.

Мовою теорії множин випадкова подія А означується як довільна непорожня підмножина множини  (А  ).

2. Операції над подіями

Додавання.Сумою двох подійА і В називається така подія С = АВ (С = А + В), яка внаслідок експерименту настає з настанням принаймні однієї з подій А або В. Подію АВ схематично зображено на рис. 1 заштрихованою областю.

Рис. 1

Операція АВ називається об'єднанням цих подій.

Множення.Добутком двох подійА і В називається така подія С = АВ (С = АВ), яка внаслідок експерименту настає з одночасним настанням подій А і В.

Операція АВ називається перерізом цих подій (рис. 2).

Рис. 2

Віднімання.Різницею двох подійА і В називається така подіяС = А В (С = АВ), яка внаслідок експерименту настає з настанням події А і одночасним ненастанням події В (рис. 3).

Рис. 3

Приклад. Задано множину цілих чисел Ώ = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Навмання з неї беруть одне число.

Побудувати випадкові події: 1) А — узяте число кратне 2;2) В — кратне 3.

Визначити АВ; АВ; А В.

Розв'язання. 1) А = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14; 2) В = 3, 6, 9, 12, 15.

Звідси дістаємо:

АВ = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 3, 6, 9, 12, 15 = 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15;

АВ = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ∩ 3, 6, 9, 12, 15 = 6, 12;

А В = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 3, 6, 9, 12, 15 = 2, 4, 8, 10, 14.

Якщо АВ  , то випадкові події А і В називають сумісними.

Якщо АВ = , то такі випадкові події А і В називають несумісними.

Повна група подій. Протилежні події. Якщо А1A2A3... ...An = = , то такі випадкові події утворюють повну групу, а саме: внаслідок експерименту якась із подій Аі обов'язково настане.

Приклад. При одноразовому підкиданні грального кубика обов'язково з'явиться одна із цифр, що є на його гранях, а саме: А1 = 1, А2 = 2, А3 = 3, А4 = 4, А5 = 5, А6 = 6. Отже, випадкові події Аі (і = ) утворюють повну групу: = Ω == 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Дві несумісні випадкові події, що утворюють повну групу, називають протилежними.

Подія, яка протилежна А, позначається . Протилежні події у просторі елементарних подій ілюструє рис. 4. Він унаочнює також співвідношення: А = Ω, А∩ = .

Рис. 4

Випадкові події А, В, С (А  Ω, В Ω, С Ω), для яких визначено операції додавання, множення та віднімання, підлягають таким законам:

1. АА = А, АА = А.

2. АВ = ВА.

3. АВ = ВА.

Комутативний закон для операцій додавання та множення.

4. (АВ) С = А (ВС).

5. (АВ) С = А (ВС).

Асоціативний закон для операцій додавання та множення.

6. (АВ) С = (АС) (ВС).

Перший дистрибутивний закон.

7. (АВ) С = (АС) (ВС).

Другий дистрибутивний закон.

8. АΩ = Ω.

9. АΩ = А.

10. А = А.

11. А = .

12. = Ω А.

13. = .

14. = Ω.

15. А(А) = А; В = В (В).

16. .

17. .

Елементарні випадкові події задовольняють такі твердження: 1) між собою несумісні; 2) утворюють повну групу; 3) є рівноможливими, а саме: усі елементарні події мають однакові можливості відбутися внаслідок проведення одного експерименту.

Loading...

 
 

Цікаве