WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами. Задача Коші - Реферат

Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами. Задача Коші - Реферат

частина в рівнянні 4 має вигляд
, 9.1
де - многочлен степеня , - многочлен степеня ; - дійсні числа.
Частинний розв'язок рівняння 4 треба шукати у вигляді
, 9.2
де многочлени степеня з невизначеними коефіцієнтами; - найвищий степінь многочленів тобто - число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють .
Зокрема, якщо права частина рівняння 4 має вигляд
,
де - відомі дійсні числа, то частинний розв'язок цього рівняння треба шукати у вигляді
,
де - невідомі коефіцієнти; - число коренів характеристичного рівняння 6 , які дорівнюють .
Приклад:
Розв'язати рівняння .
Характеристичне рівняння має корені , тому загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд .Оскільки правою частиною даного рівняння є функція виду ,причому , то за формулою 7 частинний розв'язок шукаємо у вигляді ,тобто , де А і В - знайшовши похідні і підставивши їх у рівняння дістанемо
.
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, дістаємо систему рівнянь
,
звідки .Отже частинний розв'язок даного рівняння має вигляд
, тому
шуканий загальний розв'язок.
Лінійні диференціальні рівняння -го порядку.
Застосуємо методи знаходження розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку до рівнянь вищих порядків.
Нехай маємо лінійне диференціальне рівняння n-го порядку
, 10 де - сталі дійсні числа.
Характеристичним для рівняння 10 називається алгебраїчне рівняння n-го степеня виду
11
де - невідоме дійсне чи комплексне число.
Рівняння 11 має n коренів. Позначимо ці корені через .
Теорема: Кожному простому кореню рівняння 11 відповідає частинний розв'язок рівняння 10, а кожному кореню кратності відповідає ь частинних розв'язків виду .
Кожній парі простих комплексно спряжених коренів рівняння 11 відповідає два частинних розв'язки рівняння 10 , а кожній парі комплексно-спряжених коренів кратності відповідає частинних розв'язків виду
Загальна сума кратностей всіх коренів рівняння 11 дорівнює , тому кількість всіх частинних розв'язків рівняння 10 , складених згідно з цією теоремою, дорівнює .тобто збігається з порядком рівняння 10 . Позначимо ці частинні розв'язки через Можна показати, що знайдені частинні розв'язки є лінійно незалежними. І загальний розв'язок рівняння 10 знаходиться за формулою
. 12
Нехай задано неоднорідне рівняння -го порядку
13 де - сталі дійсні числа, - неперервна на деякому проміжку функція.
Як і для рівнянь другого порядку, загальним розв'язком рівняння 13 є функція
де - загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння 10, а - частинний розв'язок рівняння 13.
Побудову загального розв'язку рівняння10 з'ясовано. Проаналізуємо знаходження частинного розв'язку . Якщо права частина рівняння 13 є функція спеціального виду 9.1, то частинний розв'язок цього рівняння треба шукати за формулою 9.2. якщо права частина не є функцією виду 9.1, то для знаходження застосовують метод варіації довільних сталих. Стосовно рівняння 13 суть цього методу така.
Нехай функція 12 є загальним розв'язком відповідного однорідного рівняння 10. знаходимо частинний розв'язок рівняння 13 за тією ж формулою 12, вважаючи. Що величини - функції від , тобто покладемо
, 14 де - невідомі функції.
Складемо систему рівнянь
розв'язуючи цю систему. Знаходимо похідні , а потім інтегруванням і самі функції . Якщо взяти всі сталі інтегрування рівними нулю і підставити функції в рівність 14 то матимемо частинний розв'язок рівняння 13; якщо у рівність 14 підставити функції , де - довільні сталі. То відразу отримаємо загальний розв'язок.
Приклад:
Розв'язати рівняння .
Характеристичне рівняння має корені . Згідно з теоремою маємо частинні розв'язки: . Загальний розв'язок даного рівняння знаходимо за формулою 12:
.
ПЛАН
1. Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.
Контрольні питання:
1.Що називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами ?
2.Яке рівняння називається характеристичним? Як його знаходять?
3. Який вигляд має розв'язок лінійного однорідного рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного рівняння дійсні і різні?
4. Який вигляд має розв'язок лінійного однорідного рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного рівняння дійсні рівні?
5. Який вигляд має розв'язок лінійного однорідного рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами , якщо корені характеристичного рівняння комплексні?
6. Для яких диференціальних рівнянь застосовується метод підбору?
7.Як знайти загальний розв'язок лінійного однорідного рівняння -го порядку із сталими коефіцієнтами?
8. як знайти частинний і загальний розв'язки неоднорідного диференціального рівняння -го порядку із сталими коефіцієнтами?
Література:
Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економісті . -.,2002.
Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. - К.: А.С.К., 2001.
Loading...

 
 

Цікаве