WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами. Задача Коші - Реферат

Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами. Задача Коші - Реферат


з дисципліни: "Вища математика"
Розділ 6: "Диференціальні рівняння"
на тему:
"Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.
Задача Коші."
1.Лінійні різницеві рівняння із сталими коефіцієнтами.
Основною задачею в диференціальних рівняннях є знаходження їхнього загального розв'язку. Ця задача найповніше вивчена для лінійних рівнянь із сталими коефіцієнтами.
Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами.
Розглянемо лінійне однорідне рівняння другого порядку
1
де дійсні числа.
Ейлер запропонував шукати частинні розв'язки цього рівняння у вигляді , де - стала(дійсна чи комплексна), яку треба знайти. Підставивши функцію в рівняння 1, дістанемо
Оскільки то
2
Отже, якщо буде коренем рівняння 2, то функція буде розв'язком рівняння 1.Квадратне рівняння 2 називається характеристичним рівнянням диференціального рівняння 1.
Позначимо корені характеристичного рівняння через можливі три випадки:
І. і дійсні і різні числа
ІІ. і комплексні числа );
ІІІ. і - дійсні і рівні числа ;
Розглянемо кожен випадок окремо.
І.Корені характеристичного рівняння дійсні і різні: . У цьому випадку частинними розв'язками рівняння 1 є функції
Ці розв'язки лінійно незалежні, тому що при
.
Загальний розв'язок рівняння 1 знаходять за формулою .
ІІ. Корені характеристичного рівняння комплексно - спряжені:
Підставивши значення та у формулу ,знайдемо розв'язки
За формулою Ейлера
маємо
Зауважимо ,що коли функція є розв'язком рівняння 1, то розв'язками будуть також функції та . Дійсно, підставивши функції в рівняння 1, дістанемо:
або
Остання тотожність можлива, коли вирази в дужках дорівнюють нулю. Це означає ,що функції та - розв'язки рівняння 1.Згідно з цим зауваженням частинними розв'язками рівняння 1 є функції .
Ці розв'язки лінійно незалежні, оскільки
тому загальний розв'язок рівняння 1 запишеться у вигляді
3
ІІІ. Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні: За формулою дістанемо один з розв'язків : .
Другий розв'язок шукатимемо у вигляді де невідома функція від . знайшовши та підставивши їх у рівняння 1 дістанемо:
або
Оскільки - корінь рівняння 2, то і за теоремою Вієта , тому і звідки де довільні сталі. Поклавши (нас цікавить розв'язок ), знайдемо другий частинний розв'язок рівняння 1:
Розв'язки - лінійно незалежні, тому загальний розв'язок рівняння 1 має вигляд:
.
Приклад 1:
Розв'язати рівняння: .
Розв'язання :
Складемо характеристичне рівняння і знайдемо його корені за формулою шуканий розв'язок має вигляд:
.
Приклад 2:
Розв'язати рівняння:
Розв'язання:
Характеристичне рівняння має комплексні корені Загальний розв'язок дістанемо за формулою 3:
.
Неоднорідні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Рівняння із спеціальною правою частиною.
Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння
4
де - задані дійсні числа, - задана функція неперервна на деякому проміжку .
Загальний розв'язок такого рівняння являє собою суму частинного
розв'язку рівняння 4 і загального розв'язку відповідного однорідного рівняння. Розглянемо питання про знаходження частинного розв'язку неоднорідного рівняння.
Насамперед слід зазначити , що частинний розв'язок диференціального неоднорідного рівняння 4 можна знайти в квадратурах методом варіації довільних сталих. Проте для рівнянь із спеціальною правою частиною розв'язок можна знайти значно простіше, не вдаючись до операції інтегрування.
Розглянемо деякі з таких рівнянь.
І. Нехай права частина в рівнянні 4 має вигляд
, 5
де - дійсне число, - многочлен степеня .
Можливі такі випадки:
а) число не є коренем характеристичного рівняння
6 Тоді диференціальне рівняння 4 має частинний розв'язок виду
, 7 де - невизначені коефіцієнти.
Справді, підставляючи функцію 7 в рівняння 4, після скорочення на дістанемо
8 де - многочлен степеня - многочлен степеня і - многочлени степеня .Таким чином зліва і справа в тотожності 8 стоять многочлени степеня .Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь, з якої визначимо невідомих коефіцієнтів многочлена .
Не зупиняючись далі на доведеннях, вкажемо форму, в якій потрібно шукати частинний розв'язок рівняння 4 , залежно від виду правої частини цього рівняння;
б) якщо число збігається з одним коренем характеристичного рівняння 6, тобто є простим коренем цього рівняння, то частинний розв'язок рівняння 4 треба шукати у вигляді
; 9
в) якщо число є двократним коренем рівняння 6 , то частинний розв'язок рівняння 4 шукають у вигляді
.
Об'єднаємо випадки а)-в): якщо права частина рівняння 4 має вигляд 5, то частинний розв'язок цього рівняння треба шукати у вигляді
,
де - многочлен з невизначеними коефіцієнтами того самого степеня, що й многочлен ,а - число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють . Якщо не є коренем характеристичного рівняння, то приймаємо .
ІІ. Нехай права
Loading...

 
 

Цікаве