WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Шпаргалка - Реферат

Шпаргалка - Реферат

Шпаргалка

(І)1) Частинні похідні і повний диференціал.

Нехай ф-ція z=f(x;y) має частинні похідні в усіх т. множ. D. Візьмемо т. (х;у) є D. В цій точці існують частинні похідні z/x і z/y, які залеж від х та у, тобто є ф-ціями 2 змін. Значить можна поставити питання про знаходж її частинних похідних. Якщо вони існують, то назив похідними ІІ порядку.

Добуток F'(x)*x назив. диференціалом ф-ції у=f(x), зображують символом dy, тобто dy=f'(x)* x.

Знайдемо диференціал ф-ції у=х; для цього випадку y'=x'=1, отже dy=dx=x. Таким чином диференціал не залеж змінної збігається з її приростом x.  dy=f'(x)dx

(І)2) Похідна за напрямом.

Відомо, що механіч. зміст похідної ф-ції 1 незалеж змінної – змінювання ф-ції в даний момент х. Аналогічно можна тлумачити мех. зміст частин похідних І-го порядку ф-ції z=f(x;y)

z/x – швидкість зміни ф-ції в напрямі Ох.

z/y - швидкість зміни ф-ції в напрямі Оу.

Частин похідну ф-ції z не залеж змінної за напрямом ех, еу знаходять:

де  і  - кути, які утвор. Вектор е з осями координат.

(І)3) Градієнт.

Напрям найбільшої швидкості зміни ф-ції z=f(x;y) співпадає з напрямом вектора – градієнтом.

За формулою довж вектора знаходять величину цієї найбільшої швидкості:

(І)4) Екстремуми.

Ф-ція має екстремуми в т. М0 (х0;у0), якщо існує такий окіл цієї т., що для всіх точок М(х;у) з цього околу виконується нерівність f(x0;y0) > f(x;y). Точки, в яких частинні похідні І порядку =0 або не існують називаються критичними.

(І)5) Необхідна і достатня умови існування екстремуму.

В т. екстремуму ф-ції її частинна похідна = 0 або не існує  в т. екстремуму диференційованої ф-ції виконується нерівність:

df/dx=0 і df/dy=0.

Необхідна:

Достатня:

AC – B2<0 – НЕ ІСНУЄ

АС – В2=0 – ?

A=2z/x2 (M0)

C=2z/y2 (M0)

B=2z/xy (M0)

(І)6) Умовний екстремум.

Рівняння (х;у) назив рівнянням зв'язку, т. (х0;у0) є Е назив т. Умовного строгого максимуму ф-ції u=f(x;y). Відносно рівн зв'язку, якщо існує такий окіл т. (х0;у0), для всіх точок якого (х;у)  (х0;у0), що задовольняють рівняння зв'язку, вірна нерівність: f(x;y)  f(x0;y0).

z = f(x;y) (x;y) = 0

F(x,y,) = f(x;y) + (x;y)

(І)7) Найбільше і найменше значення ф-ції на замкненій області.

Ф-ція, неперервна на замкненій обмеженій множині D, досягає в ній найбільшого і найменшого значення. Ці значення вона може приймати як у внутрішніх точках множини D? Так і на її межі, тобто необхідне спеціальне дослідження межових точок множини D.

(І)8) Метод найменших квадратів.

Нехай х1, x2, ... xn – послідовність значень незалеж змінної, а y1, y2, ... yn – послідовн. значень залежної змінної. Необхідно підібрати пряму, яка найліпшим чином відображає залежність між х і у  відхилення фактичних значень ф-ції від підібраної прямої має бути мінімальним. Нехай y=ax+b є рівн. цієї прямої  y1=ax1+b1 ... yn=axn=bn

Відхилення складає:

y1 – yi = yi – (axi + b) = yi – axi – b.

Це відхилення має бути додат або від'ємним, тому пряма підбирається так, щоб сума квадратів відхилень була найменшою. Необхідна умова існування min полягає в тому, що f/a = 0 f/b = 0.

Маємо: (y1-b-ax1)2=y12+b2+a2x12-2abxi-2bxiyi, отже:

Обчислимо:

Таким чином ми отримали 2 рівн з двома змінними a і b. Розв'язання цих двох рівн дає значення a і b, які визначають пряму, яка найкраще відображає хід змінної ф-ції.

(ІІ)9) Поняття первісної ф-ції та невизначеного інтеграла.

Первісною ф-цією для даної ф-ції f(x) називають ф-цію F(x) таку, що f(x)=F'(x) або f(x)dx=dF(x).

Теорема про множину первісних:

Будь-які 2 первісні однієї і тієї ж ф-ції відрізняються тільки на постійний доданок. F2(x)=F1(x+c).

Всю множину первісних F9x)+с для ф-ції f(x) називають невизначеним інтегралом і позначають:

f(x)dx = F(x)+c. Геометрично не визначений  представляє множину інтеграл прямих.

(ІІ)10) Основні властивості невизначених інтегралів.

  1. Похідна не визначеного  = підінтегральній ф-ції, а диференціал від невизначеного  = підінтегральному виразу.

  2. Не визнач  від диференц. ф-ції = тій самій ф-ції + постійний доданок. dF(x)=f(x)dx=F(x)+c.

  3. Постійний множник можна виносити за знак невизначеного .

  4. Не визнач  від алгебраїчної суми декількох ф-цій = тій самій сумі від заданих ф-цій.

(ІІ)11) Методи інтегрування.

  1. Метод безпосереднього інтегрування: а)_введення під знак  постійного множника і постійного доданку; б)_введення частини підінтегральної ф-ції.

  2. Метод підстановки (заміни змінної): f(x)dx=f((t))'(t)dt

  3. Метод інтегрування частинами: udv=u*v-v*du.

Інтегрування виразів з квадратним тричленом.

(ІІ)12) Раціональні дроби. Інтегрування раціональних дробів. Неінтегровні ф-ції.

Інтегрування рац дробів.

Теорема: правильний рац дріб R(x)/Q розклад на суму простіших рац дробів.

1) Корені знаменника дійсні та різні:

Q(x)=(x-1)(x-2)...(x-n)

2) Корені дійсні, деякі кратні.

3) Корені дійсні, серед них є кратні, знаменник містить квадратний тричлен.

Неінтегровні ф-ції.

Теорема Коші: неперервна ф-ція має первісну. Для кожної неперервної ф-ції існує визначений  f(x)=F(x)+c, але т. Коші стверджує, що для неперерв. ф-ції можна знайти первісну за допомогою скінченого числа операцій.

(ІІ)13) Поняття визначеного інтегралу.

Означення 1: сума вигляду:

називається інтегральною сумою для ф-ції f(x) на відрізку [a;b].

Означення 2: Якщо існує скінчена границя інтегральної суми (див. вище), при max xi0 і не залежить від способу розбиття відрізка [a;b] на часткові відрізки і вибору проміжних точок і, то цю границю називають визначеним інтегралом від a до b від ф-ції f(x) і позначають:

або

(ІІ)14) Властивості визначеного інтегралу. Теорема про середнє. Формула Ньютона-Лейбніца.

5) Якщо f1(x) та f2(x) – інтегровані ф-ції на [a;b], то:

6)Якщо ф-ція f(x) інтегрована на кожному з відрізків [a;b], [a;c], [c;b], то справедлива рівність:

7) Якщо ф-ція f(x) інтегровна на відрізку [a;b] і f(x)0, xє[a;b], то:

8) Якщо f(x) та g(x) інтегровні ф-ції на [a;b] та f(x)g(x) для xє[a;b], то:

9) Якщо ф-ція f(x) інтегровна на відрізку [a;b] та m та M – відповідно найменше і найбільше значення ф-ції на відрізку [a;b], тобто mf(x)M, то:

Теорема про середнє.

Якщо ф-ція f(x) інтегровна на відрізку [a;b], то на цьому відрізку існує така т. С, що справедлива рівність:

Формула Ньютона-Лейбніца

(ІІ)15) Метод підстановки у визначеному інтегралі. Метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Теорема: Нехай заданий :

f(x) – неперервна ф-ція на відрізку [a;b] та x=(t) – неперервна ф-ція на відрізку [;]. Якщо при цьому:

1) При зміні t від  до  x змінюється від а до b, тобто ()=a і (=b

2) Складна ф-ція f(t)) – визначена і неперервна на відрізку [;], то справедлива формула:

Метод інтегрування частинами у визначеному інтнгралі.

(ІІ)16) Невласні інтеграли. Інтеграл від розривних ф-цій.

1)[a;)

2) (-;b]

3) (;

Інтеграл від розривних ф-цій.

(ІІ)17) Подвійний інтеграл.

Означення: Якщо границі інтегр. суми

існує і не залежить від способу розбиття області D на часткові області, від вибору т. М, то цю границю називають подвійним інтегралом від ф-ції f(x;y) по області D:

Loading...

 
 

Цікаве