WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінійне відображення лінійного простору і його матриця, афінне відображення(пошукова робота) - Реферат

Лінійне відображення лінійного простору і його матриця, афінне відображення(пошукова робота) - Реферат

числа векторів.
Д о в е д е н н я. Нехай в лінійному просторі існує два базисі і причому Кожний з векторів базису розкладемо за векторами базису і складемо матрицю, стовпчиками якої будуть одержані координатні стовпчики. Кожний стовпчик має висоту а їх всього Тому матриця має розміри і ранг її не перевищує В силу теореми 2 п.4.1.3 стовпчики матриці лінійно залежні, а, значить, залежні і вектори Таким чином, наше припущення приводить допротиріччя. Теорема доведена.
Означення. Лінійний простір, в якому існує базис із векторів, називається вимірним, а число розмірністю простору. Розмірність простору будемо вказувати нижнім індексом, наприклад - вимірний лінійний простір.
В нульовому просторі немає базису, оскільки система, що складається із одного нульового вектора, є лінійно залежною. Розмірність нульового простору дорівнює нулю.
Може виявитися, що яке б не було натуральне в просторі знайдеться лінійно незалежних векторів. Такий простір називається нескінченновимірним. Базису в ньому не існує.
Якщо в вимірному просторі задані два базиси і , то ми можемо розкласти кожний вектор базису за векторами базису :
(4.11)
Координати можна записати у вигляді квадратної матриці
Стовпчики матриці це координатні стовпчики векторів за базисом Тому стовпчики матриці лінійно незалежні і
Матриця, ий стовпчик якого є координатний стовпчик вектора за базисом називається матрицею переходу від базису до базису
Рівність (4.11) можна записати в матричному вигляді
(4.12)
Перемножуючи рівність (4.12) на матрицю одержимо
Звідси випливає, що є матрицею переходу від базису до
Вияснимо, як зв'язані між собою координати одного і того ж вектора в двох базисах і Позначимо через і координатні стовпчики вектора в цих базисах. Це означає, що і звідки одержимо Якщо матриця переходу від базису до то і тоді або З останньої рівності одержимо:
(4.12)
4.3.3. Лінійні відображення і перетворення
Означення 1. Нехай і два лінійних простори. Відображенням простору в простір називається закон, за яким кожному вектору із співставляється єдиний вектор із . Ми будемо це записувати коротко так: Образ вектора позначається
Означення 2. Відображення називається лінійним, якщо для довільних двох векторів і із і довільного числа виконуються рівності
(4.13)
Із означення випливає, що при лінійному відображенні лінійна комбінація векторів переходить в таку ж лінійну комбінацію їх образів.
Лінійне відображення називається лінійним перетворенням, якщо простори і співпадають.
Приклади.
1. При афінному перетворенні простору трьохвимірний простір векторів відображається сам на себе. При цьому сума векторів переходить в суму образів, а результат множення вектора на число - в добуток його образу на це ж число. Тому афінне перетворення є лінійним.
2. Нехай і простір функцій, які неперервні відповідно на відрізках і Співставимо функції із функцію із Так побудоване відображення, очевидно, є лінійним.
3. Розглянемо вимірний простір (простір стовпчиків висоти ) і матрицю Спів ставимо кожному стовпчику із стовпчик Він має висоту Таким чином визначається відображення в В силу властивостей множення матриць це відображення буде лінійним.
4. Відображення, що співставляє кожному вектору нульовий, є лінійним. Воно називається нульовим відображенням.
Розглянемо лінійні простори і розмірностей і і відображення Нехай базис в просторі Тоді образ довільного вектора може бути представлений у вигляді
(4.14)
Виберемо базис в просторі . Нехай це Кожний вектор розкладемо за цим базисом
Якщо компоненти вектора за базисом позначити то рівність (4.14) можна переписати так:
Звідси, в силу єдності розкладу за базисом, маємо
(4.15)
Якщо із чисел скласти матрицю
то рівність (4.15) можна записати в матричній формі
(4.15/)
Означення. Матрицею лінійного відображення в парі базисів і називається матриця, стовпчики якої є координатними стовпчиками векторів за базисом
Очевидно, що матрицею лінійного відображення є матриця яка визначена вище . Матриця лінійного відображення визначається однозначно. Якщо ми маємо лінійне перетворення, то матриця буде квадратною.
Отже, вибір базису в просторах і встановлює взаємно однозначну відповідність між лінійними відображеннями в і матрицями розмірності
Розглянемо лінійне відображення Нехай в і вибрані базиси і а лінійне відображення задається матрицею Перейдемо в просторах і до базисів і з матрицями переходу і відповідно. В базисах і лінійне відображення має матрицю переходу Потрібно знайти зв'язок між і
Розглянемо довільний вектор і його образ Позначимо координатні стовпчики в базисах і відповідно через і а координатні стовпчики вектора в базисах і через і За формулою (4.12) маємо
Підставивши ці вирази в формулу (4.15/), одержимо звідки знаходимо Але, з другого боку, за визначенням Оскільки матриця лінійного відображення для даної пари базисів однозначно визначена, одержимо
(4.16)
Формула (4.16) дає зміну матриці лінійного відображення при заміні базисів.
Якщо маємо лінійне перетворення то і формула (4.16) приймає вигляд
(4.16/)
Розглянемо два лінійних відображення і .
Сумою відображень і називається відображення яке визначається рівністю Якщо в і вибрані базиси, то координатні стовпчики векторів і запишуться через матриці відображень як і Отже, буде мати координатний стовпчик тобто лінійне відображення і його матриця дорівнює сумі матриць відображень і
Добуток лінійного відображення на число визначається як відображення яке співставляє вектору вектор Легко перевірити, що воно є лінійним і має матрицю
Добутком відображень називається результат послідовного виконання двох лінійних відображень і і позначається (відображення, яке виконується першим, пишеться справа ).
Нехай в просторах і вибрані базиси і а і матриці відображень і в базисах і та і відповідно. Розглянемо координатний стовпчик довільного вектора Координатні стовпчики векторів і позначимо відповідно через і Тоді за формулою (4.12) маємо і Отже, відображення має матрицю в базисах і
Loading...

 
 

Цікаве