WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Лінійне відображення лінійного простору і його матриця, афінне відображення(пошукова робота) - Реферат

Лінійне відображення лінійного простору і його матриця, афінне відображення(пошукова робота) - Реферат


Пошукова робота на тему:
Лінійне відображення лінійного простору і його матриця, афінне відображення. Перетворення матриці відображення при заміні базису. Ортогональна матриця.
План
" Лінійні простори.
" Основні поняття.
" Лінійна залежність. Базис.
" Лінійні відображення і перетворення.
" Перетворення матриці відображення при заміні базису.
4.3. Лінійні простори
4.3.1. Основні поняття
У векторній алгебрі розглядалися множини (вектори), в яких були визначені операції додавання і множення на число. Двом векторам за правилом паралелограма ми співставляли вектор, який називався їх сумою. Вектору і числу співставлявся вектор, яки називається добутком на число
Розглядаючи множину матриць одних і тих же розмірів, ми ввели операції додавання (сума матриць), а також операцію множення матриці на число. Властивості цих операцій співпадають з відповідними операціями з векторами.
В кожній множині операції визначаються по-своєму, але мають одні і ті ж властивості: комутативність і асоціативність додавання, дистрибутивність множення на число по відношенню до додавання чисел і т.д. Нижче будуть наведені й інші приклади множин, в яких визначені операції, що мають такі ж властивості.
Природно виникає необхідність дослідити множину, що складається із елементів довільної природи, в якій визначені операції додавання двох елементів і множення елемента на число. Ці операції можуть бути визначені довільним чином, лише б мали певний набір властивостей.
Означення. Множина називається лінійним простором, а його елементи - векторами, якщо:
1) Заданий закон (операція додавання), за яким довільним двом елементам із ставиться у відповідність елемент який називається сумою.
2) Заданий закон (операція множення на число), за яким елементу із і числу ставиться у відповідність елемент із який називається добутком на і позначається
3) Для довільних елементів і із і довільних чисел
і виконуються такі вимоги (аксіоми):
10.
20.
30. Існує елемент такий, що для кожного виконується рівність
40. Для кожного існує елемент такий, що
50.
60.
70.
80. Добуток довільного елемента на число 1 дорівнює тобто
Якщо обмежитися дійсними числами, то називається дійсним лінійним простором; якщо ж визначене множення на довільне комплексне число, то лінійний простір називається комплексним.
Вектор називається протилежним вектору Вектор називається нульовим вектором або нулем.
Приклад 1. Розглянемо множину визначених і неперервних на відрізку функцій однієї змінної Довільним двом функціям і із цієї множини можна співставити їх суму яка також буде визначена і неперервна на , а, значить, буде належати даній множині. Числу і функції ставиться у відповідність функція яка, очевидно, також буде належати даній множині. Всі вісім аксіом виконуються. Роль нуля відіграє функція тотожньо рівна нулю. Отже, визначені та неперервні на відрізку функції утворюють лінійний простір.
Приклад 2. Нехай множина всіх многочленів однієї змінної, степінь яких не вище заданого числа Сума двох многочленів із є також многочлен степеня не вище і добуток многочлена із на число належить Легко перевірити, що всі аксіоми лінійного простору виконуються. Роль нуля відіграє многочлен, всі коефіцієнти яких дорівнюють нулю. буде дійсним або комплексним лінійним простором в залежності від того чи будуть многочлени з дійсними або комплексними коефіцієнтами.
Із аксіом випливає існування тільки одного нульового вектора, а також для кожного вектора існування тільки одного протилежного. Дійсно, допустимо, що існують два елементи 01,02, що задовольняють аксіомі 30. Тоді 01+02=01=02. Аналогічно, якщо деякий вектор має два протилежних і то сума повинна дорівнювати і і
Рівність означає, що протилежним для нульового вектора є він самий, а із рівності випливає, що протилежним вектором для є вектор
Суму векторів і будемо позначати і називати різницею векторів і
Звідси випливає, що для довільного Дійсно,
Добуток довільного числа на нульовий вектор дорівнює нульовому вектору
Якщо то або , або
Вираз
називається лінійною комбінацією векторів
4.3.2. Лінійна залежність. Базис
Лінійна комбінація називається тривіальною, якщо всі її коефіцієнти дорівнюють нулю.
Означення. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі її коефіцієнти дорівнюють нулю. В противному випадку, тобто коли існує рівна нулю нетривіальна лінійна комбінація векторів, система векторів називається лінійно залежною.
Система із векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один із векторів є лінійною комбінацією інших. Якщо в систему входить нульовий вектор, то вона є лінійно залежною.
Означення. Базисом в просторі називається довільна впорядкована кінцева система векторів, якщо: а) вона є лінійно незалежною; б) кожний вектор із є лінійною комбінацією векторів цієї системи.
Впорядкована система координат - це, коли кожному вектору в даній системі відповідає певний номер. Із однієї і тієї ж системи векторів можна одержати різні базиси, нумеруючи по-різному вектори.
Коефіцієнти розкладу довільного вектора простору за векторами базису називаються компонентами або координатами
вектора в цьому базисі.
Вектори базису будемо записувати як матрицю-рядок: а координати вектора за базисом в матрицю-стовпчик: який назвемо координатним стовпчиком вектора.
Тоді ми можемо записати розклад вектора за базисом в такому вигляді
(4.10)
Теорема 1. В заданому базисі координати вектора визначаються однозначно.
Д о в е д е н н я. Допустимо протилежне. Нехай маємо дві рівності і з яких випливає В силу лінійної незалежності векторів всі коефіцієнти лінійної комбінації дорівнюють нулю, тобто при всіх
Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли лінійно залежні їх координатні стовпчики.
Координатний стовпчик суми векторів дорівнює сумі їх координатних стовпчиків. Координатний стовпчик добутку вектора на число дорівнює добутку координатного стовпчика даного вектора на це число.
Для доведення досить виписати такі рівності:
Теорема 2. Якщо в лінійному просторі існує базис із векторів, то довільний інший базис в цьому просторі складається із того ж
Loading...

 
 

Цікаве