WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Натуральні числа. Ділення з остачею Подільність натуральних чисел. - Реферат

Натуральні числа. Ділення з остачею Подільність натуральних чисел. - Реферат

5. Щоб перемножити два числа з різними знаками, потрібно перемножити модулі цих чисел і перед здобутим числом поставити "мінус". Наприклад,

Зі зміною знака будь-якого множника знак добутку змінюється, а модуль його залишається тим самим. Якщо ж змінюються знаки обох множників, то знак добутку і його модуль не змінюються (тут добуток змінює знак двічі):

6. Щоб перемножити два від'ємні числа, потрібно перемножити їхні модулі. Добуток двох від'ємних чисел є число додатне. Наприклад,

7. Щоб поділити від'ємне число на від'ємне, потрібно поділити модуль діленого на модуль дільника. Частка двох від'ємних чисел є число додатне. Наприклад,

8. Щоб поділити два числа з різними знаками, потрібно поділити модуль діленого на модуль дільника і перед здобутим числом поставити "мінус". Наприклад,

При діленні нуля на будь-яке число, що не дорівнює нулю, дістаємо нуль.

Ділення з остачею

Ділення одного натурального числа на інше ціле не завжди виконується. Тому розглядають більш загальну дію — ділення з остачею.

Поділити натуральне число на натуральне число з остачею — означає подати число у вигляді де і — невід'ємні цілі числа, причому Число при цьому називається неповною часткою, а число — остачею від ділення на Наприклад, при діленні числа 27 на 6 неповна частка дорівнює 4, а остача Щоб знайти ділене при діленні з остачею, потрібно неповну частку помножити на дільник і до здобутого добутку додати остачу. Очевидно, що тоді і тільки тоді, коли є дільником Ділення з остачею завжди виконується, про що свідчить наведена далі теорема (теорема про ділення з остачею).

Теорема. Для будь-яких натуральних чисел і існує єдина пара невід'ємних цілих чисел і , таких що

де

Подільність натуральних чисел

Натуральне число є дільником натурального числа , якщо

де — натуральне число. У цьому разі кажуть, що число ділиться без остачі на число Зазначимо, що з рівності випливає, що число також ділиться без остачі і на число тобто — дільник числа . Наприклад, 5 і 3 — дільники числа 15.

Нагадаємо, що натуральні числа, які діляться на 2, а також число 0, називаються парними, а натуральні числа, що не діляться на 2, — непарними. Кратним числа називають число яке ділиться без остачі на Множина чисел, кратних даному число нескінченна.

Теорема. Якщо кожний доданок ділиться на певне число, то їхня сума також ділиться на це число.

Наслідок. Якщо сума двох доданків і одне з них діляться на деяке число, то й інший доданок ділиться на це число.

Зауваження. Не слід думати, що коли кожний доданок суми не ділиться на деяке число, то й сума не ділиться на це число. Наприклад, сума 23 + 13 ділиться на 6, хоча жодний із доданків не ділиться на це число.

Теорема.Якщо зменшуване і від'ємник діляться на деяке число, то і різниця поділиться на це число.

Теорема.Якщо кожний доданок, крім одного, ділиться на деяке число, а той один на нього не ділиться, то й сума не поділиться на це число.

Теорема. Якщо хоча б один із множників ділиться на дане число, то їхній добуток також ділиться на це число.

Зауваження. Умова теореми є достатньою, але не необхідною для подільності добутку на число. Наприклад, добуток 1427 ділиться на 21, хоча ні 14, ні 27 на 21 не ділиться.

Теорема. Якщонатуральне число а ділиться на добуток двох натуральних чисел, то воно поділиться на кожне з цих чисел окремо.

Теорема. Якщо натуральне число а ділиться окремо на два натуральних числа b і с, причому b і с не мають спільних дільників, крім одиниці, то а ділиться на добуток bс.

Взаємно-прості та прості числа. НСК ТА НСД.Ознаки подільності натуральних чисел

Взаємно прості та прості числа

Означення. Натуральне число називається простим, якщо воно має рівно два натуральні дільники.

Якщо прості числа виписувати в ланцюжок за зростанням, то його початок буде такий: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... .

Взаємно простими числами називаються числа і , у яких найбільший спільний дільник дорівнює 1.

Критерії взаємної простоти двох цілих чисел: числа та взаємно прості тоді й тільки тоді, коли існують такі цілі числа і , що .

Властивості:

  1. Якщо кожне з чисел і взаємно просте з числом , то добуток також взаємно простий з .

  2. Якщо добуток ділиться на і при цьому взаємно просте з , то тоді на обов'язково ділиться число

Теорема. Існує безліч простих чисел.

Лема. Якщо і — різні прості числа, то вони взаємно прості.

Теорема. (Основна теорема арифметики). Будь-яке натуральне число, крім одиниці, може бути єдиним способом подане у вигляді добутку простих чисел (якщо не враховувати порядок розміщення множників).

Нехай складене число а розкладено в добуток простих чисел, серед яких можуть бути й рівні між собою. Записуючи добуток однакових множників у вигляді степеня, дістаємо

де — різні прості дільники числа а; — деякі цілі додатні числа, що дорівнюють кількості повторів простих дільників у розкладі числа а. Наведену рівність називають канонічним розкладом натурального числа а на прості множники.

Розкладаючи натуральні числа на прості множники, використовують ознаки подільності. Множники звичайно записують у порядку їх зростання праворуч від вертикальної риски. Наведемо приклади таких розладів:

Таким чином, 190 = 2  5  19, 210 = 2  3  5  7, 360 = 23  32  5.

Теорема.Якщо k — спільне кратне чисел а і b, m — їхнє найменше спільне кратне, то k ділиться на m.

Теорема. Найменше спільне кратне двох взаємно простих чисел дорівнює їхньому добутку.

Наслідок. Для того щоб число а ділилось на кожне з взаємно простих чисел b і с, необхідно і достатньо, щоб воно ділилось на їхній добуток.

Теорема. Для того щоб числа а і b були взаємно простими, необхідно і достатньо, щоб жодний з простих множників, що входять до складу канонічного розкладу числа а, не входив у канонічний розклад числа b.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Вишенський В. А., Перестюк М. О., Самойленко А. М. Збірник задач з математики: Навч. посібник. — 2-ге вид., доп. — К.: Либідь, 1993. — 344 с.

  2. Саушкін О. Ф. Розв'язування алгебраїчних рівнянь. — К.: КНЕУ.

  3. Лурьве М. В., Александров Б. И. Задачи на составление уравнений: Учеб. рук-во. — 3-е изд., перераб. — М.: Наука, 1990. — 96 с.

  4. Амелькин В. Задачи з параметром. — Минск, 1994.

  5. Мордкович А. Г. Набольшее и наименьше значения величин. — М.: Школа-Пресс, 1995. — 144 с.

  6. Чайковський М. А. Квадратні рівняння. — К., 1970. — 242 с.

  7. Маслай Г. С., Шоголева Л. О. Рівняння та системи рівнянь з параметрами: Математика. № 21—22 (81—82), Червень 2000.

  8. Гусак Г. М., Капуцкая Д. А. Математика для подготовительных отделений вузов: Справ. пособие / Под ред. А. А. Гусака. — Мн.: Высш. шк., 1989. — 495 с.

  9. Маслова Т. Н., Суходений А. М. Ваш домашний репетитор. — М.: ООО "Изд. дом "ОНИКС 21 век"", 2003. — 672 с.

  10. Математика для поступающих в экономические вузы: Уч. пос. для вузов / Под ред. проф. Н. М. Кремера. — 2-ге изд., перероб. и доп. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 430 с.

  11. Алгебра и начала аналіза: Учебн. для 10—11 кл. общ. учредж. / Под ред. А. Н. Колмогорова. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 с.

Loading...

 
 

Цікаве