WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Натуральні числа. Ділення з остачею Подільність натуральних чисел. - Реферат

Натуральні числа. Ділення з остачею Подільність натуральних чисел. - Реферат

Реферат на тему:

Натуральні числа. Ділення з остачею Подільність натуральних чисел.

Взаємно-прості та прості числа. НСК ТА НСД

Числа, використовувані при лічбі предметів, називають натуральними. Зображають їх символами

0, 1, 2, 3, 4, 5,...

Множину натуральних чисел, упорядкованих у строго визначеній послідовності, називають натуральним рядом чисел, або скорочено натуральним рядом.

Те з двох натуральних чисел, яке в натуральному ряді стоїть ближче до 1 (тобто яке при лічбі з'являється раніше), називається меншим, друге — більшим. Отже, у натуральному ряді кожне число, крім 1, більше за попереднє; 1 — найменше натуральне число, але найбільшого натурального числа не існує.

Хоч би яким великим було натуральне число, існує ще більше число, яке йде за ним. Натуральний ряд нескінченний. Позначають натуральний ряд .

Будь-яке натуральне число можна записати за допомогою десяти цифр знаків — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифри 0, 2, 4, 6, 8 називають парними, а цифри 1, 3, 5, 7, 9 — непарними. Значення цифри в запису числа залежить від місця, яке вона займає, тобто від її позиції. Наприклад, у запису 333 перша ліворуч трійка позначає три сотні, друга — три десятки, третя — три одиниці. З огляду на це зазначену систему запису чисел називають десятковою системою числення.

Щоб прочитати число, записане в десятковій системі, його позначення справа наліво розбивають на групи, по три цифри в кожній. Перші три цифри праворуч (одиниці, десятки і сотні) утворюють клас одиниць, три наступні (одиниці тисяч, десятки тисяч, сотні тисяч) — клас тисяч, далі йдуть клас мільйонів, класмільярдів і т. ін.

Розширимо ряд натуральних чисел, приєднавши до нього число 0. Нуль вважається числом, що передує всім натуральним числам. Ряд натуральних чисел з числом 0 позначають N0.

Із натуральними числами можна виконувати арифметичні дії: додавання, віднімання, множення та ділення.

Додавання натуральних чисел підпорядковане переставному (комутативному) та сполучному (асоціативному) законам, що виражаються відповідними рівностями:

1) 2) для будь-яких значень . Ці рівності означають таке: 1) від переставлення доданків значення суми не змінюється; 2) щоб до суми двох чисел додати третє число, достатньо до першого числа додати суму другого та третього.

Відняти від натурального числа натуральне число — означає знайти таке натуральне число яке в сумі з числом дає . Число називають різницею чисел і Число називають зменшуваним, число — від'ємником. Різниця є натуральним числом, коли . Іншими словами, у множині натуральних чисел віднімання можливе лише тоді, коли зменшуване більше за від'ємник. Різниця показує, на скільки одиниць число більше за число Зазначимо, що

Добутком натурального числа на натуральне число більше за 1, називають суму доданків, кожний з яких дорівнює і позначають або Числа і називаються множниками. Дія знаходження добутку чисел і називається множенням.

Добутком числа на 1 називають саме число тобто За означенням вважають, що

Множення чисел має переставну та сполучну властивості, що виражаються для будь-яких значень відповідно рівностями:

1) 2)

Ці рівності означають таке: 1) від зміни місць множників значення добутку не змінюється; 2) щоб добуток двох чисел помножити на третє число, достатньо помножити перше з них на добуток другого і третього.

Будь-яке натуральне число у десятковій системі числення можна розкласти за розрядами, тобто подати у вигляді суми розрядних доданків (одиниць, десятків, сотень, тисяч і т. д.):

де кожне з — одне з чисел 0, 1, 2, 3, ..., 9; — цифри одиниць; — цифри десятків і т. д.

Наприклад,

Розкладання числа на розряди використовують для обґрунтування правил додавання, віднімання і множення багатоцифрових чисел; при цьому використовують основні властивості цих дій.

Приклад. Додамо числа 234 і 561. Кожний доданок спочатку подамо у вигляді суми розрядних доданків: Додаючи ці числа і застосовуючи переставний і сполучний закони додавання, дістаємо: Цим пояснюється правило додавання натуральних чисел "стовпчиком":

Приклад. Помножимо число 23 на 8. Число 23 розкладемо на розряди Дали маємо: . Це можна записати так

або

Поділити натуральне число на натуральне число — означає знайти таке натуральне число при множенні якого на число дістаємо Таким чином, якщо то або Число називається часткою чисел і, число — діленим, число — дільником числа З означення ділення випливає, що (оскільки).

Зауваження.Жодне число не можна ділити на нуль. Справді, поділити число на нуль — означає знайти таке число що Якщо то ця рівність суперечлива, бо за будь якого Якщо то при будь-якому тому неможливо вказати одне визначене значення Отже, ділити число на нуль не можна! Не можна ділити і 0 на 0!

1.2. Цілі числа

Натуральні числа можна зображувати точками на прямій лінії. Щоб визначити положення точки на прямій відносно деякої фіксованої точки О (початок відліку), недостатньо знати її відстань від точки О, необхідно ще вказати, по який бік від початку відліку вона міститься. Здебільшого таку пряму розміщують горизонтально і при цьому напрям праворуч від точки О вважають додатним, а ліворуч — від'ємним. Додатний напрям на прямій позначають стрілкою. Звичайно замість того, щоб писати слова "праворуч" і "ліворуч", записують по один бік від точки О числа 1, 2, 3, ..., а по другий її бік — числа зі знаком "мінус": –1, –2, –3, ... (див. рисунок). Числа 1, 2, 3, ... називають додатними, числа –1, –2, –3 — від'ємними. Число 0 відокремлює на прямій додатні числа від від'ємних. Його позначають як точку О — початок відліку. Саме число 0 не є ані додатним, ані від'ємним. Усі цілі додатні числа і число 0 називаються невід'ємними числа.

Число, що задає положення точки на прямій, називають координатою цієї точки. Пряму лінію з вибраним на ній початком відліку, одиничним відрізком і додатним напрямом називають координатною прямою.

Точки з координатами 5 і –5 (див. рисунок) однаково віддалені від точки О, містяться по різні боки від неї і симетричні відносно цієї точки. Щоб потрапити з точки О в ці точки, потрібно відкласти від точки О відрізки завдовжки 5 одиниць у протилежних напрямах. Унаслідок цього числа 5 і –5 називаються протилежними. Для кожного числа існує одне протилежне йому число. Число 0 протилежне саме собі. Два протилежні числа зображуються на координатній прямій точками, симетричними відносно початку відліку.

Число, протилежне числу позначають Натуральні числа, протилежні їм числа і нуль називають цілими числами. Множину всіх цілих чисел позначають

Модулем числа називають невід'ємне число що визначається за формулою:

Введення від'ємних чисел робить виконуваною дію віднімання з цілими числами (різниця має зміст при ).

Арифметичні дії з цілими числами виконуються за правилами, наведеними далі.

1. Щоб додати два від'ємних числа, потрібно додати їхні модулі і перед здобутим числом поставити знак "мінус". Наприклад, (–17) + (–8) = –(17 + 8) = –25.

2. Щоб додати два числа з різними знаками, потрібно від більшого модуля відняти менший і поставити перед здобутим числом знак того доданка, модуль якого більший.

Наприклад,

Зауважимо, що сума двох протилежних чисел дорівнює нулю. Наприклад,

3. Щоб додати кілька чисел, серед яких є додатні і від'ємні, потрібно додати окремо додатні і окремо від'ємні, а потім до суми додатних чисел додати суму від'ємних чисел. Наприклад,

4. Щоб від одного числа відняти інше, потрібно до зменшуваного додати число, протилежне від'ємнику. Наприклад,

Будь-який вираз, що містить лише знаки додавання і віднімання, можна розглядати як суму. Наприклад, вираз можна розглядати як суму трьох доданків: і –1;

Різниця двох чисел додатна, якщо зменшуване більше за від'ємник, і від'ємна, якщо зменшуване менше за від'ємник. Різниця дорівнює нулю, якщо зменшуване і від'ємник рівні між собою.

Loading...

 
 

Цікаве