WWW.REFERATCENTRAL.ORG.UA - Я ТУТ НАВЧАЮСЬ

... відкритий, безкоштовний архів рефератів, курсових, дипломних робіт

ГоловнаМатематика, Геометрія, Статистика → Алгебраїчні вирази та їх перетворення - Реферат

Алгебраїчні вирази та їх перетворення - Реферат

Покажемо, що коли многочлен ділиться на то — корінь многочлена тобто що умова необхідна.

Справді, якщо ділиться на то остача Водночас (за теоремою Безу), Отже, а це означає (за означенням), що — корінь многочлена

Умова достатня, оскільки якщо — корінь многочлена то (за означенням) Водночас (за теоремою Безу), Отже, тобто ділиться на

З теореми Безу випливають і інші наслідки. Сформулюємо їх без доведення.

1. Якщо — різні корені многочлена то многочлен ділиться на добуток

2. Якщо то кількість різних коренів многочлена не перевищує його ступеня.

3. Якщо — усі корені многочлена то .

4. Многочлен ділиться на двочлен при будь-якому натуральному

5. Многочлен ділиться на двочлен при будь-якому парному

6. Многочлен ділиться на двочлен при будь-якому непарному

Многочлен зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює одиниці, називають зведеним многочленом.

Для відшукання коренів многочленів можна скористатися такими теоремами.

Теорема (про дробові корені). Зведений многочлен із цілими коефіцієнтами не може мати дробових раціональних коренів.

Теорема (про цілі корені). Кожний цілий корінь многочлена з цілими коефіцієнтами є дільником вільного члена.

Приклад. Знайти корені многочлена

  • Спочатку спробуємо знайти цілі корені цього многочлена. Згідно з теоремою про цілі корені такими коренями можуть бути лише дільники вільного члена, тобто числа 1 і –1. Дослідимо число Таким чином, число –1 не є коренем многочлена. Дослідивши число 1, дістанемо а отже, число 1 — цілий корінь многочлена.

Згідно з наслідком із теореми Безу даний многочлен ділиться на двочлен Визначимо частку від ділення даного многочлена на Коефіцієнти частки знайдемо за схемою Горнера:

6

–11

6

–1

1

6

–5

1

0

Отже, Оскільки числа і — корені тричлена то даний многочлен має три корені: 1, і .

Корінь n-го степеня з дійсного числа.Арифметичний корінь n-го степеня. Правила дій із коренями

Коренем n-го степеня (n — натуральне число) з дійсного числа а називають дійсне число b, n-й степінь якого дорівнює а. Корінь n-го степеня із числа а позначають: (читають: "корінь n-го степеня з числа а"). Згідно з визначенню кореня n-го степеня маємо

якщо (1)

Розглянемо приклади.

1. Запис означає корінь третього степеня (або кубічний корінь) з числа 343. Оскільки то

2. Запис означає корінь п'ятого степеня з числа –243, оскільки

3. Числа 3 і –3 — корені четвертого степеня з числа 81, оскільки і

4. Запис не має смислу, оскільки не існує такого дійсного числа, четвертий степінь якого дорівнював би –625.

Якщо n — непарне число, то вираз має сенс при будь-якому а; якщо n — парне число, то вираз має сенс при і не має сенсу при (парний степінь будь-якого дійсного числа невід'ємний).

Знаходження кореня n-го степеня з даного числа а називають добуванням кореня n-го степеня з числа а. Число а, з якого добувають корінь n-го степеня, називають підкореневим виразом, а число nпоказником кореня.

Очевидно, що при всіх значеннях а, якщо має сенс вираз то згідно з (1) виконується рівність .

При відшуканні кореня n-го степеня з дійсного числа слід брати до уваги таке.

1. Корінь непарного степеня з числа а завжди існує, причому лише один; якщо а — додатне число, то існує додатне число, яке є коренем непарного степеня з числа а, якщо а — від'ємне число, то існує від'ємне число, яке є коренем непарного степеня з числа а.

2. Існують два протилежні числа, що є коренями парного степеня з додатного числа а; додатний корінь n-го степеня позначають в цьому разі Тоді протилежне йому число буде

Наприклад, корені рівняння які є протилежними числами, записують так: (додатний корінь) і (від'ємний корінь).

3. Корінь будь-якого натурального степеня n з числа нуль дорівнює нулю: оскільки

4. Корінь парного степеня з від'ємного числа в множині дійсних чисел не існує.

Для будь-якого невід'ємного дійсного числа і будь-якого натурального n (як парного, так і непарного) вираз завжди має сенс і позначає невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює а. Невід'ємний корінь n-го степеня з невід'ємного числа а називають арифметичним коренем n-го степеня .

Іншими словами, невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює невід'ємному числу а, називають арифметичним коренем n-го степеня з числа а.

Можна довести, що арифметичний корінь з невід'ємного числа завжди існує і єдиний.

З означення арифметичного кореня n-го степеня випливає: вираз може мати сенс лише при вираз може набувати лише невід'ємного значення; при будь-якому невід'ємному значенні а правильна рівність

. (2)

Корінь непарного степеня з від'ємного числа можна виразити через арифметичний корінь того самого степеня з числа, протилежного даному, тобто якщо і де — натуральне число, то

(3)

Зауваження 1. Надалі запис означатиме лише арифметичний корінь n-го степеня з невід'ємного числа а.

Зауваження 2. Якщо то показник кореня не пишеться. Наприклад, замість пишуть і читають: "корінь квадратний із 7".

Арифметичний корінь n-го степеня має властивості, які подаються такими теоремами.

Теорема.Якщо і n — натуральне число,то

Теорема.Якщо і то

(4)

тобто при будь-якому натуральному n корінь степеня n з дробу, чисельник якого невід'ємний, а знаменник додатний, дорівнює кореню степеня n з чисельника, діленому на корінь того самого степеня зі знаменника.

Теорема.Якщо і — натуральні числа, то

(5)

Теорема.Якщо і — натуральні числа, то

(6)

Іншими словами, для того щоб піднести арифметичний корінь степеня n до натурального степеня k, достатньо піднести до степеня k підкореневий вираз і зі здобутого результату добути корінь степеня n.

Таким чином, формули (4)—(6) визначають відповідно правила ділення коренів, добування кореня та піднесення кореня до степеня.

Зауваження. Якщо а — невід'ємне число і n — натуральне число, то виконується тотожність

(7)

Справді, згідно з означенням арифметичного кореня n-го степеня а згідно з попередньою теоремою 2.5 Отже,

Теорема.При будь-якому значенні а справджується тотожність

(8)

де k — натуральне число.

Теорема.Якщо — натуральні числа, то

(9)

Цю властивість іноді називають основною властивістю кореня.

Користуючись цією властивістю, корені з різними показниками завжди можна звести до одного й того самого показника.

Зведемо, наприклад, до одного й того самого показника корені та Згідно з формулою (9) дані корені можна звести до найменшого спільного показника, що дорівнює 6:

Теорема.Якщо і — натуральні числа, причому ділиться на то

(10)

тобто щоб добути корінь зі степеня невід'ємного числа, показник якого ділиться на показник кореня, достатньо показник підкореневого виразу поділити на показник кореня, залишивши основу степеня незмінною.

Приклад. Знайти значення виразу

  • Підкореневий вираз можна подати у вигляді добутку множників, кожний з яких є квадратом цілого числа: Застосувавши теорему 2.3, дістанемо:

Приклад. Спростити вираз якщо

  • Оскільки то скористаємося послідовно теоремами 2.2 і 2.6: Оскільки то і, отже, Оскільки то і, отже, тому при і

Приклад. Спростити вираз при

  • Подамо даний вираз у вигляді . Оскільки при а то

Приклад. Добути корінь якщо

  • Застосовуючи послідовно відомі теореми, дістаємо:

Теорема. Якщо і — невід'ємні числа, — натуральне число, то

(11)

Перетворення кореня за формулою (11) називають внесенням множника під знак кореня.

Нехай дано вираз Якщо і то цей вираз можна записати у вигляді Таке перетворення називають винесенням множника з-під знака кореня.

Приклад. Внести множник під знак кореня у виразі де

  • За формулою (11), знаючи, що дістаємо:

Приклад. Внести множник під знак кореня у виразі

  • Від'ємний множник не можна подати у вигляді арифметичного квадратного кореня, і тому його не можна внести під знак кореня. Запишемо даний вираз у вигляді і внесемо під знак кореня додатний множник 5:

Loading...

 
 

Цікаве